Question

（2013•樊城区模拟）已知如图，矩形OABC的长OA=2

3

，宽OC=2，将△AOC沿AC翻折得△AFC．
（1）求点F的坐标；
（2）求过A、F、C三点的抛物线解析式；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得△ACP为以A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过F作FG⊥y轴于G，先在Rt△OCA中，根据正切函数的定义得出tan∠OCA=

OA

OC

=

3

，则∠OCA=60°，再由轴对称的性质得出CF=OC=2，∠ACF=∠OCA=60°，则∠FCG=60°，然后解Rt△CFG，求出CG=1，GF=

3

，进而得到点F的坐标；
（2）把点A、C、F的坐标代入所设的抛物线解析式y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求解；                                      8′
（3）根据抛物线的形状可知，如果△ACP为以A为直角顶点的直角三角形时，P点只能在第二象限，画出图形．过点P作PH⊥x轴于点P，先由∠1=90°-∠OCA=30°，∠PAC=90°，得出∠2=60°，
然后在Rt△PAH中，根据tan∠2=

PH

AH

=

3

，得出PH=

3

AH，设P（m，

2

3

m²-

3

m-2）（m＜0），得到关于m的方程，解方程求出m=-2

3

，进而求出点P的坐标为（-2

3

，12）．

解答：解：（1）过F作FG⊥y轴于G．
在Rt△OCA中，∵∠AOC=90°，OA=2

3

，OC=2，
∴tan∠OCA=

OA

OC

=

3

，
∴∠OCA=60°．
∵将△AOC沿AC翻折得△AFC，
∴CF=OC=2，∠ACF=∠OCA=60°，
∴∠FCG=180°-∠ACF-∠OCA=60°，
∴在Rt△CFG中，∠CFG=30°，
∴CG=

1

2

CF=1，GF=

22-12

=

3

，
∴F（

3

，-3）；

（2）由题知，A（2

3

，0）、C（0，-2）、F（

3

，-3），
令抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
把点A、C、F的坐标代入抛物线的解析式中，
得

12a+2 3 b+c=0 c=-2 3a+ 3 b+c=-3

，
解得

a= 2 3 b=- 3 c=-2

，
∴过A、F、C三点的抛物线解析式为y=

2

3

x²-

3

x-2；                                      8′

（3）在抛物线上存在一点P，能够使得△ACP为以A为直角顶点的直角三角形．理由如下：
如图，过点P作PH⊥x轴于点P．
在Rt△OCA中，∠1=90°-∠OCA=30°，
∵∠PAC=90°，
∴∠2=90°-∠1=60°．
在Rt△PAH中，tan∠2=

PH

AH

=

3

，
∴PH=

3

AH．
设P（m，

2

3

m²-

3

m-2）（m＜0），
∴

2

3

m²-

3

m-2=

3

（-m+2

3

），
解之，m=-2

3

，
∴在抛物线上存在一点P（-2

3

，12），能够使得△ACP为以A为直角顶点的直角三角形．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，三角函数的定义，特殊角的三角函数值，轴对称的性质，解直角三角形，综合性较强，有一定难度．