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如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点P,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AP的延长线交⊙O1于C点,BP的延长线交⊙O2于D点,直线O1O2交⊙O1于M,交⊙O2于N,与BA的延长线交于点E.
求证:(1)AB2=BC•DA.
(2)线段BC,AD分别是两圆的直径.
(3)PE2=BE•AE.

证明:(1)∵BA切⊙O1于B,∴∠ABP=∠C,∵BA切⊙O2于A,∴∠BAP=∠D,∴△ABC∽△DAB,∴,∴AB2=BC•DA;

(2)过P作两圆的内公切线交AB于F,由切线长定理得:BF=PF,PF=AF,∴PF=BF=AF=AB
∴∠BPA=90°,∴BP⊥AP,∴∠BPC=∠APD=90°,∴BC,AD分别是⊙O1,⊙O2的直径.

(3)∵PF是⊙O1和⊙O2的公切线,∴PF⊥O1O2,∴∠APF=∠APE=90°,∵∠APB=90°,
∴∠ABP+∠BAP=90°,又∵PF=AF,∴∠BAP=∠APF,∴∠ABP=∠APE,∵∠E=∠E
∴△EPB∽△EAP,∴,∴PE2=BE•AE.
分析:(1)此题的关键是利用∠ABP=∠C,∠BAP=∠D,判定△ABC∽△DAB,然后即可推出AB2=BC•DA.
(2)由切线长定理得BF=PF,PF=AF,PF=BF=AF=AB,从而推出BC,AD分别是⊙O1,⊙O2的直径.
(3)利用PF⊥O1O2,∠APF=∠APE=90°,PF=AF,∠BAP=∠APF得出△EPB∽△EAP,从而得出答案.
点评:此题考查学生对相似三角形的判定与性质、切线长定理、两圆相切的性质等知识点的理解与掌握,综合性较强.
练习册系列答案
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21、如图,已知⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,直线CB交⊙O1于点D,直线DA交⊙O2于点E.试证明:AC=EC.

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如图,已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,DP是⊙O1的切线,切点为P,直线PD交⊙O2于C、Q,交AB的延长线于D.
(1)求证:DP2=DC•DQ;
(2)若QA也是⊙O1的切线,求证:方程x2-2PBx+BC•AB=0有两个相等的实数根;
(3)若点C为PQ的中点,且DP=y,DC=x,求y与x的函数关系式,并精英家教网求S△ADC:S△ACQ的值.

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如图,已知⊙O1和⊙O2外切于点P,AB是两圆的外公切线,A,B为切点,AP的延精英家教网长线交⊙O1于C点,BP的延长线交⊙O2于D点,直线O1O2交⊙O1于M,交⊙O2于N,与BA的延长线交于点E.
求证:(1)AB2=BC•DA.
(2)线段BC,AD分别是两圆的直径.
(3)PE2=BE•AE.

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(2012•永嘉县一模)如图,已知⊙O1和⊙O2的半径分别是2cm和3cm,圆心距O1O2是10cm,把⊙O2由图示位置沿直线O1O2向左平移6cm,此时它与⊙O1的位置关系是
相交
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如图,已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B,过点A作直线分别交⊙O1、⊙O2于点C、D,过点B作直线分别交⊙O1、⊙O2于点E、F,求证:CE∥DF.

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