Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂外切于点P，AB是两圆的外公切线，A，B为切点，AP的延长线交⊙O₁于C点，BP的延长线交⊙O₂于D点，直线O₁O₂交⊙O₁于M，交⊙O₂于N，与BA的延长线交于点E．
求证：（1）AB²=BC•DA．
（2）线段BC，AD分别是两圆的直径．
（3）PE²=BE•AE．

Answer 1

证明：（1）∵BA切⊙O₁于B，∴∠ABP=∠C，∵BA切⊙O₂于A，∴∠BAP=∠D，∴△ABC∽△DAB，∴，∴AB²=BC•DA；

（2）过P作两圆的内公切线交AB于F，由切线长定理得：BF=PF，PF=AF，∴PF=BF=AF=AB
∴∠BPA=90°，∴BP⊥AP，∴∠BPC=∠APD=90°，∴BC，AD分别是⊙O₁，⊙O₂的直径．

（3）∵PF是⊙O₁和⊙O₂的公切线，∴PF⊥O₁O₂，∴∠APF=∠APE=90°，∵∠APB=90°，
∴∠ABP+∠BAP=90°，又∵PF=AF，∴∠BAP=∠APF，∴∠ABP=∠APE，∵∠E=∠E
∴△EPB∽△EAP，∴，∴PE²=BE•AE．
分析：（1）此题的关键是利用∠ABP=∠C，∠BAP=∠D，判定△ABC∽△DAB，然后即可推出AB²=BC•DA．
（2）由切线长定理得BF=PF，PF=AF，PF=BF=AF=AB，从而推出BC，AD分别是⊙O₁，⊙O₂的直径．
（3）利用PF⊥O₁O₂，∠APF=∠APE=90°，PF=AF，∠BAP=∠APF得出△EPB∽△EAP，从而得出答案．
点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质、切线长定理、两圆相切的性质等知识点的理解与掌握，综合性较强．