Question

【题目】（1）发现

如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．

填空：

①∠DCE的度数是　 ；

②线段CA、CE、CD之间的数量关系是　 　．

（2）探究

如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．

（3）应用

如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．

Answer 1

【答案】（1）①120°，②CA＝CE+CD；（2）∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由见解析；（3）DA＝5或．

【解析】

（1）①证△BAD≌△CAE，从而得出∠ACE＝∠B＝60°，进而得出∠DCE的大小；

②根据△BAD≌△CAE可知BD＝CE，从而得出CA＝CE+CD；

（2）先证△BAD≌△CAE，得出BD＝CE，然后在等腰直角三角形ABC中，得出CB＝CA，从而得出CA、CE、CD之间的数量关系；

（3）如下图，先证点B，C，A，D四点共圆，得出△ADE是等腰直角三角形，最后在Rt△BED中，利用勾股定理可求得．

（1）发现

解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAC＝∠DAE＝60°，

∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE(SAS)，

∴∠ACE＝∠B＝60°，

∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；

故答案为：120°，

②∵△BAD≌△CAE，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+CD＝EC+CD，

∴CA＝BC＝CE+CD；

故答案为：CA＝CE+CD．

（2）探究

∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．

理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，

即∠BAD＝∠CAE．

∴△BAD≌△CAE(SAS)．

∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．

∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．

在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，

∵CB＝CD+DB＝CD+CE，

∴CA＝CD+CE．

（3）应用

DA＝5或．

作DE⊥AB于E，连接AD，

∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，

∴BC＝＝＝2，

∵∠BDC＝90°，DB＝DC，

∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，

∵∠BDC＝∠BAC＝90°，

∴点B，C，A，D四点共圆，

∴∠DAE＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝DE，

∴BE＝6﹣DE，

∵BE2+DE2＝BD2，

∴DE2+(6﹣DE)2＝26，

∴DE＝1，DE＝5，

∴AD＝或AD＝5．