Question

4．直线y=x-1交x轴于D点，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于B点，直线y=2x交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于A点．
（1）若A点横坐标为1，求B点坐标；
（2）若OA=OB，求k；
（3）在（2）中，过B点作BH⊥x轴于H，交OA于N点，P（2，t），比较PB与PN的大小．

Answer 1

分析 （1）由y=2x且x=1求得点A坐标，即可知反比例函数解析式，联立y=x-1解方程组可得点B坐标；
（2）联立反比例函数解析式与两直线解析式表示出OA²、OB²，由OA=OB得到关于k的方程，解之可得；
（3）先求出点A、B及点N的坐标，再根据两点间的距离公式表示出PB、PN的长，分类讨论可得．

解答 解：（1）将x=1代入y=2x，得：y=2，即A（1，2），
∴反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{2}{x}}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则B点坐标为（2，1）；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得：2x²=k，
则x²=$\frac{k}{2}$，
∴OA²=x²+y²=x²+4x²=5x²=$\frac{5}{2}$k；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$得：x²-x-k=0，即x²-x=k，
则OB²=x²+y²=x²+（x-1）²=2x²-2x+1=2k+1，
∵OA=OB，
∴OA²=OB²，即$\frac{5}{2}$k=2k+1，
解得：k=2；

（3）当k=2时，点A坐标为（1，2）、点B坐标为（2，1），
在y=2x中，当x=2时，y=4，即点N坐标为（2，4），
由点P（2，t）知PN=4-t，PB=t-1，
由4-t＞t-1，即1≤t＜$\frac{5}{2}$时，PN＞PB；
由4-t=t-1，即t=$\frac{5}{2}$时，PN=PB；
由4-t＜t-1，即$\frac{5}{2}$＜t≤4时，PN＜PB．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题及两点间的距离公式，熟练掌握由函数解析式求交点坐标的方法是解题的关键．