Question

1．如图，∠ACB=∠CDE=90°，AC=BC，AB=2CD=2ED，G是BD的中点，F是AB的中点
（1）如图1，当F在CE上时，连接FG与CG，若CG=$\sqrt{3}$，求线段FG的长度；
（2）如图2，当CE经过点G时，求证：CG=EF+EG．

Answer 1

分析 （1）如图1中，在Rt△BDC中，设CD=x，则AB=2x，AC=BC=$\sqrt{2}$x，则有x²+（$\sqrt{2}$x）²=（2$\sqrt{3}$）²，求出x，再求出AD，根据FG=$\frac{1}{2}$AD即可解决问题；
（2）如图2中，作BH∥DE交EC于H，连接CF．由△GHB≌△GED，推出DE=BH=CF，GE=HG，由△ECF≌△CBH，推出CH=EF，由此即可证明；

解答 （1）解：如图1中，

在Rt△DCB中，∵DG=GB，
∴CG=$\frac{1}{2}$BD，
∵CG=$\sqrt{3}$，
∴BD=2$\sqrt{3}$，
∵AC=BC，AB=2CD=2ED，∠ACB=∠CDE=90°，
设CD=x，则AB=2x，AC=BC=$\sqrt{2}$x，
∴x²+（$\sqrt{2}$x）²=（2$\sqrt{3}$）²，
∴x=2，
∴CD=2，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AD=AC-CD=2$\sqrt{2}$-2，
∵DG=GB，AF=BF，
∴FG=$\frac{1}{2}$AD=$\sqrt{2}$-1．

（2）如图2中，作BH∥DE交EC于H，连接CF．

∵AC=CB，∠ACB=90°，AF=FB，
∴CF=AF=BF=CD=DE，∠FCB=45°，
易证△GHB≌△GED，
∴DE=BH=CF，GE=HG，
∵∠BHE=∠DEC=45°=∠HCB+∠HBC，∠FCB=45°=∠ECF+∠BCH，
∴∠ECF=∠CBH，
在△ECF和△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BC}\\{∠ECF=∠CBH}\\{CF=BH}\end{array}\right.$，
∴△ECF≌△CBH，
∴CH=EF，
∴CG=CH+HG=EF+GE．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．