Question

（本题满分14分）如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点 M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P， 连接EP．

⑴如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长=____     _cm；②求证：EP=AE+DP；

 

⑵随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，△PDM的周长是否发生变化?请说明理由．

 

Answer 1

⑴①6………………………………………………………………………………2分

  ②证明：取EP中点G，连接MG，在梯形AEPD中

∵M、G分别为AD、EP的中点

∴……………………………………………………4分

由折叠，得∠EMP=∠B=90°

又G为EP的中点

∴MG=EP………………………………………………………………6分

∴EP=AE+DP ……………………………………………………………7分

⑵△PDM的周长保持不变 ……………………………………………………8分

证明：设AM=xcm，则DM=（4－x）cm …………………………………9分

Rt△EAM中，由

…………………………………………………10分

∵∠AME+∠AEM=90°

∠AME+∠PMD=90°

∴∠AEM=∠PMD……………………………………………………11分

又∵∠A=∠D=90°

∴△PDM∽△MAE……………………………………………………12分

∴………………………………………………………13分

即

∴……………………………………14分

∴△PDM的周长保持不变．

解析:略