Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（　　）个．

①AE⊥BF；②QB＝QF；③FG＝AG；④sin∠BQP＝；⑤SECPG＝3S△BGE

A. 5B. 4C. 3D. 2

Answer 1

【答案】C

【解析】

①首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可得到AE⊥BF；
②△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF=QB；

③证明△BEG∽△ABG∽△AEB，得出，设GE=x，则BG=2x，AG=4x，∴BF=AE=AG+GE=5x，∴FG=BF-BG=3x，得出，即可得出结论；

④利用QF=QB，解出BP，QB，根据正弦的定义即可求解；
⑤可证△BGE与△BMC相似，进一步得到相似比，再根据相似三角形的性质和三角形的面积关系即可求解．

解：①∵四边形BCD是正方形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD，

∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF＝BE，

在△ABE和△BCF中，

，

∴△ABE≌△BCF（SAS），

∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，

又∵∠BAE+∠BEA＝90°，

∴∠CBF+∠BEA＝90°，

∴∠BGE＝90°，

∴AE⊥BF，故①正确；

由折叠的性质得：FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°

∵CD∥AB，

∴∠CFB＝∠ABF，

∴∠ABF＝∠PFB，

∴QB＝QF，故②正确；

③∵AE⊥BF，∠ABE＝90°，

∴△BEG∽△ABG∽△AEB，

∴

设GE＝x，则BG＝2x，AG＝4x，

∴BF＝AE＝AG+GE＝5x，

∴FG＝BF﹣BG＝3x，

∴，

，故③错误；

④由①知，QF＝QB，

令PF＝k（k＞0），则PB＝2k，

在Rt△BPQ中，设QB＝a，

∴a2＝（a﹣k）2+4k2，

，

，故④正确；

⑤如图所示：

∵PC⊥BF，AE⊥BF，

∴PC∥AE，△BGE∽△BMC，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

∴△BGE的面积：△BMC的面积＝1：4，

∴△BGE的面积：四边形ECMG的面积＝1：3，

连接CG，则△PGM的面积＝△CGM的面积＝2△CGE的面积＝2△BGE的面积，

∴四边形ECPG的面积：△BGE的面积＝5：1，

∴S四边形ECFG＝5S△BGE，故⑤错误．

综上所述，共有3个结论正确．

故选：C．