Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(﹣1，0)或(5，0)

【解析】

（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；

（2）设直线AC的解析式为y＝kx＋b，与x轴交于D，得到y＝2x1，求得BD于是得到结论；

（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得或，可求得N点的坐标．

（1）∵顶点坐标为（1，1），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，又抛物线过原点，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，

即y=﹣x2+2x，联立抛物线和直线解析式可得，

解得或，∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，与x轴交于D，

把A（1，1），C（﹣1，﹣3）的坐标代入得，

解得：，

∴y=2x﹣1，当y=0，即2x﹣1=0，解得：x=，∴D（，0），

∴BD=2﹣=，

∴△ABC的面积=S△ABD+S△BCD=××1+××3=3；

（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），

∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，由（2）知，AB=，BC=3，

∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC=∠MNO=90°，

∴当△ABC和△MNO相似时，有或，

①当时，∴，即|x||﹣x+2|=|x|，

∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=，∴﹣x+2=±，解得x=或x=，此时N点坐标为（，0）或（，0）；

②当或时，∴，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．