Question

已知一次函数y₁=2x，二次函数y₂=mx²-3（m-1）x+2m-1的图象关于y轴对称，y₂的顶点为A．
（1）求二次函数y₂的解析式；
（2）将y₂左右平移得到y₃交y₂于P点，过P点作直线l∥x轴交y₃于点M，若△PAM为等腰三角形，求P点坐标；
（3）是否存在二次函数y₄=ax²+bx+c，其图象经过点（-5，2），且对于任意一个实数x，这三个函数所对应的函数值y₁、y₂、y₄都有y₁≤y₄≤y₂成立？若存在，求出函数y₄的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：由题意二次函数关于y轴对称，则
解得：m≠0，则m=1
∴二次函数的解析式为：y₂=x²+1．

（2）二次函数的解析式为：y₂=x²+1．求得点A（0，1）如图
设点p（x，x²+1），则点M（3x，x²+1）
∵△PAM为等腰三角形，
∴从图中可知：Rt△OAM中，AM为斜边，AM＞OM，只有AP=PM，
则AP=PM

x⁴-3x²=0
x²（x²-3）=0
解得x=0，x=
当x=0时，P（0，1）与点A重合，舍去；
当x=时，P（，4），则y₂向右移动得到；
当x=-时，P（-，4）则y₂向左移动得到．

（3）存在，
由题意知，当x=1时，y₁=y₂=2，即y₁、y₂的图象都经过（1，2）；
∵对应x的同一个值，y₂≥y₄≥y₁成立，
∴y₄=ax²+bx+c的图象必经过（1，2），
又∵y₄=ax²+bx+c经过（-5，2），
∴
解得：，
y₄=ax²+4ax-5a+2；
设y=y₄-y₁=ax²+4ax-5a+2-2x=ax²+（4a-2）x+（2-5a）；
对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y₂≥y₄≥y₁成立，
∴y₄-y₁≥0，
∴y=ax²+（4a-2）x+（2-5a）≥0；
∵a＞0，
∴（4a-2）²-4a（2-5a）≤0，即（3a-1）²≤0，
而（3a-1）²≥0，故a=
∴抛物线的解析式为：y=x²+x-．
分析：（1）利用公式：二次函数y=ax²+bx+c的对称轴为x=-，顶点坐标为（-，）即可求解，则该二次函数关于y轴对称，对称轴等于0而解得；
（2）根据y₂解析式设点P坐标，从而得到点M的坐标，先三角形的三边关系判断AM不可能与其他两边中的一边相等，则由AP=PM，代入点坐标求得点P坐标；
（3）易知y₁、y₂的交点为（1，2），由于y₂≥y₄≥y₁成立，即三个函数都交于（1，2），结合点（-5，2）的坐标，可用a表示出y₄的函数解析式；已知y₄≥y₁，可用作差法求解，令y=y₄-y₁，可得到y的表达式，由于y₄≥y₁，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．
点评：本题考查了二次函数的综合运用，考到了二次函数关于对称轴对称的几何性质，左右移动后的图象性质，以及根据图象性质判断在相同x的取值范围上函数值具有的特点．