Question

13．如图1，在平面直角坐标系中，OABC是边长为1的正方形，E是AB上一动点，D是OA上一动点，且OD=AE，OE与CD交于点F．
（1）求证：CD⊥OE；
（2）如图2，当点E为AB的中点时，求BF的长；
（3）如图3，设M、N分别为DE、BC的中点，当FM+MN的值最小时，求此时点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）ASA可证Rt△OCD≌Rt△AOE，根据全等三角形的性质可得CD⊥OE；
（2）方法一：如图2，延长CB与OE，相交于点G．由E为AB的中点，易证△EBG≌△EAO，再根据直角三角形的性质可得BF的长；
方法二：由E为AB的中点，可知E（1，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，0），待定系数法可得直线OE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，直线CD的解析式为y=-2x+1，再根据勾股定理可得BF的长；
（3）如图3，连结AM，由（1）可知∠DFE=90°，可得当FM+MN的值最小时，即AM+MN的值最小，此时点M必然在线段AN上，
方法一：由AM=ME，∠MAE=∠MEA，根据三角函数可设OD=AE=t，则AD=1-t（0≤t≤1），可得$\frac{1-t}{t}$=$\frac{1}{2}$，解得t=$\frac{2}{3}$．从而得到点E的坐标；
方法二：设OD=AE=t，则E（1，t），D（t，0）（0≤t≤1），得到DE的中点M的坐标为（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t}{2}$），得到方程$\frac{t}{2}$=-2×$\frac{t+1}{2}$+2，解得t=$\frac{2}{3}$．从而得到点E的坐标．

解答 （1）证明：在Rt△OCD和Rt△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AO=1}\\{∠COD=∠OAE=90°}\\{OD=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCD≌Rt△AOE（SAS），
∴∠OCD=∠AOE，
∵∠OCD+∠ODC=90°，
∴∠AOE+∠ODC=90°，即CD⊥OE；
（2）解：方法一：如图2，延长CB与OE，相交于点G．
由E为AB的中点，
易证△EBG≌△EAO，
∴点B为CG的中点，
由（1）可知△CFG是Rt△，
∴BF=$\frac{1}{2}$CG=BC=1；
方法二：由E为AB的中点，可知E（1，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，0），
∴直线OE的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
直线CD的解析式为y=-2x+1，
∴点F的坐标为（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$），
∴BF=$\sqrt{（1-\frac{2}{5}）^{2}+（1-\frac{1}{5}）^{2}}$=1；
（3）解：如图3，连结AM，
由（1）可知∠DFE=90°，
∵∠EAD=90°，M为DE的中点，
∴AM=FM=$\frac{1}{2}$DE，
当FM+MN的值最小时，即AM+MN的值最小，
此时点M必然在线段AN上，
方法一：
由AM=ME，∠MAE=∠MEA，
∴tan∠MEA=$\frac{AD}{AE}$=tan∠MAE=$\frac{BN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
设OD=AE=t，则AD=1-t（0≤t≤1），
∴$\frac{1-t}{t}$=$\frac{1}{2}$，
解得t=$\frac{2}{3}$．
∴此时点E的坐标为（t，$\frac{2}{3}$）．
方法二：
设OD=AE=t，则E（1，t），D（t，0）（0≤t≤1），
∴DE的中点M的坐标为（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵直线AN的解析式为y=-2x+2，
∴$\frac{t}{2}$=-2×$\frac{t+1}{2}$+2，
解得t=$\frac{2}{3}$．
∴此时点E的坐标为（t，$\frac{2}{3}$）．

点评 考查了四边形综合题，涉及的知识点有：全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，待定系数法求直线解析式，勾股定理，三角函数，综合性较强，有一定的难度．