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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3x轴、y轴分别交于点BC;抛物线y=﹣x2+bx+c经过BC两点,并与x轴交于另一点A

1)求该抛物线所对应的函数关系式;

2)设Pxy)是(1)所得抛物线上的一个动点,过点P作直线l⊥x轴于点M,交直线BC于点N

若点P在第一象限内.试问:线段PN的长度是否存在最大值?若存在,求出它的最大值及此时x的值;若不存在,请说明理由;

求以BC为底边的等腰△BPC的面积.

【答案】1)所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3

2线段PN的长度的最大值为

【解析】

试题(1)利用一次函数与坐标轴坐标求法,得出BC两点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式.

2)利用二次函数最值求法不难求出,再利用三角形面积之间的关系,可求出等腰△BPC的面积

试题解析:(1)由于直线y=﹣x+3经过BC两点,

y=0x=3;令x=0,得y=3

∴B30),C03),

BC在抛物线y=﹣x2+bx+c上,于是得

解得b=2c=3

所求函数关系式为y=﹣x2+2x+3

2①∵Pxy)在抛物线y=﹣x2+2x+3上,

PN⊥x轴,

设点P的坐标为(x﹣x2+2x+3),

同理可设点N的坐标为(x﹣x+3),

又点P在第一象限,

∴PN=PM﹣NM

=﹣x2+2x+3﹣x+3),

=﹣x2+3x

=—

时,

线段PN的长度的最大值为

解:

由题意知,点P在线段BC的垂直平分线上,

又由知,OB=OC

∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线,

设点P的坐标为(aa),

又点P在抛物线y=﹣x2+2x+3上,于是有a=﹣a2+2a+3

∴a2﹣a﹣3=0

解得

P的坐标为:

若点P的坐标为,此时点P在第一象限,

Rt△OMPRt△BOC中,MP=OM=

OB=OC=3

SBPC=S四边形BOCP﹣SBOC=2SBOP﹣SBOC

=

若点P的坐标为,此时点P在第三象限,

SBPC=SBOP+SCOP+SBOC=

=

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