Question

如图，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将一块三角尺的直角顶点与斜边AB的中点M重合，当三角尺绕着点M旋转时，两直角边始终保持分别与边BC、AC交于D，E两点（D、E不与B、A重合）．
（1）求证：MD=ME；
（2）求四边形MDCE的面积；
（3）若只将原题目中的“AC=BC=2”改为“BC=a，AC=b，（a≠b）”其它都不变，请你探究：MD和ME还相等吗？如果相等，请证明；如果不相等，请求出MD：ME的值．

Answer 1

（1）证明：在Rt△ABC中，M是AB的中点，且AC=BC，
∴CM=AB=BM，
∠MCA=∠B=45°，CM⊥AB，
而∠BMD=90°-∠DMC，∠EMC=90°-∠DMC．
∴∠BMD=∠EMC．
△BDM≌△CEM（ASA）．
∴MD=ME．

（2）解：∵△BDM≌△CEM，
∴S_{四边形DMEC}=S_△DMC+S_△CME=S_△DMC+S_△BMD=S_△BCM=S_△ACB=1
∴四边形MDCE的面积为1；

（3）解：不相等．
如图所示，过M点作MF⊥BC于F，MH⊥AC于H，
∵M是AB的中点，
∴MF=b，MH=a．
∠FMD=90°-∠DMH，∠EMH=90°-∠DMH，
故∠FMD=∠EMH，
∠MFD=∠MHE=90°，
∴△MFD∽△MHE，
∴===．
分析：（1）证明MD和ME所在的△BDM≌△CEM即可；
（2）由（1）中的全等得到面积相等，把所求的四边形的面积进行转换，成为三角形的面积即可；
（3）因为利用不了等腰直角三角形的一些性质，所以不全等．
点评：本题考查了三角形全等的判定和性质；两个角在不同的三角形中要证明相等时，通常是利用全等来进行证明，应注意需注意已证得条件在以后证明中的应用．