Question

如图，已知：AD是⊙O的直径，AB、AC是弦，且AB=AC．
（1）求证：直径AD平分∠BAC；
（2）若BC经过半径OA的中点E，F是

CD

的中点，G是

FB

的中点，⊙O的半径为1，求GF的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，OC，
∵在△ABO和△ACO中，

AB=AC OA=OA OB=OC

∴△ABO≌△ACO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴直径AD平分∠BAC；

（2）连接OG、OF，OC，
∵BC过AO中点，
∴AE=OE=

1

2

OA=

1

2

OC，
∵AO⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠OCE=30°，
∴∠AOC=60°，
即弧AC度数是60°，
∵AD为直径，
∴弧CD的度数是180°-60°=120°，
∵F为弧CD中点，
∴弧CF的度数和弧DF的度数都等于60°，
∵AO⊥BC，AO平分BC，
∴弧BD的度数=弧CD的度数，是120°，
∴弧BDF的度数是120°+60°=180°，
∵G为弧BDF的中点，
∴弧GF度数是90°，
∴∠GOF=90°，
∵OG=OF=1，
∴由勾股定理得：GF=

12+12

=

2

．