Question

1．已知一次函数的图象经过A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$）两点．
（1）求此一次函数的解析式．
（2）在x轴上找一点P使PA=PB，并求点P的坐标．
（3）在x轴上求一点Q，使三角形QAB的周长最小，并求出该三角形的最小周长．

Answer 1

分析 （1）设出一次函数的解析式y=kx+b，将点（-3，5）和（1，$\frac{7}{3}$）代入后联立求解可求出a和b的值，即得出了函数解析式；
（2）设出点P的坐标，表示出PA，PB，用PA=PB建立方程求解即可；
（3）先找出点Q的位置，进而最小周长为AB'+AB．

解答 解：（1）设直线AB解析式为y=kx+b，
∵一次函数的图象经过A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$）两点．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=5}\\{k+b=\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+3．
（2）设点P（m，0），
∵A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$），
∴PA=$\sqrt{（m+3）^{2}+25}$，PB=$\sqrt{（m-1）^{2}+\frac{49}{9}}$，
∵PA=PB，
∴$\sqrt{（m+3）^{2}+25}$=$\sqrt{（m-1）^{2}+\frac{49}{9}}$，
∴m=-$\frac{31}{9}$，
∴P（-$\frac{31}{9}$，0）；
（3）如图，

作出点B（1，$\frac{7}{3}$）关于x轴的对称点B'（1，-$\frac{7}{3}$），
连接AB'与x轴的交点即为Q点，
∵A（-3，5），
∴AB'=$\sqrt{16+（5+\frac{7}{3}）^{2}}$=2$\sqrt{157}$
∵A（-3，5），B（1，$\frac{7}{3}$）
∴AB=$\sqrt{16+\frac{64}{9}}$=4$\sqrt{13}$，
∴该三角形的最小周长=AQ+BQ+AB=AB'+AB=2$\sqrt{157}$+4$\sqrt{13}$．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平面坐标系内，两点间的距离公式，最小值的确定方法，解本题的关键是用方程的思想解决几何图形问题，难点是最小值得确定．