Question

正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，Q为CD上任意一点，AQ交BD于M，过M作MN⊥AM交BC于N，连AN、QN．下列结论：
①MA=MN；②∠AQD=∠AQN；③S_△AQN=

1

2

S_{五边形ABNQD}；④QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线．
其中正确的结论有（　　）

A．①②③④

B．只有①③④

C．只有②③④

D．只有①②

Answer 1

分析：延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，证A B N M四点共圆，推出∠ANM=∠NAM即可判断①；证△ABN≌△ADF，推出AF=AN，∠FAD=∠BAN，证△NAQ≌△FAQ，
推出∠AQN=∠AQD即可判断②；证△ADQ≌△AHQ，即可推出③；根据AH=AD=AB，AH⊥NQ，即可判断④．

解答：解：
延长CD到F，使DF=BN，连接AF，过A作AH⊥NQ于H，
∵正方形ABCD，NM⊥AQ，
∴∠AMN=∠ABC=90°，
∴A B N M四点共圆，
∴∠NAM=∠DBC=45°，∠ANM=∠ABD=45°，
∴∠ANM=∠NAM=45°，
∴MA=MN，∴①正确；
∵正方形ABCD，
∴∠ABN=∠ADF=90°，AD=AB，
在△ABN和△ADF中
∵

AD=AB ∠ABN=∠ADF BN=DF

，
∴△ABN≌△ADF，
∴∠FAD=∠BAN，AF=AN，
∵∠NAM=∠BAC=45°，
∴∠FAQ=∠FAD+∠DAQ=45°=∠NAQ，
在△NAQ和△FAQ中
∵

AF=BN ∠FAQ=∠NAQ AQ=AQ

，
∴△NAQ≌△FAQ，
∴∠AQN=∠AQD，∴②正确；
在△ADQ和△AHQ中
∵

∠AQD=∠AQN ∠ADQ=∠AHQ=90° AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△AHQ，
∴S_△ADQ=S_△AQH，
∴S_△NAQ=S_△FAQ=S_△FAD+S_△ADQ=

1

2

S_{五边形ABNQD}，
∴③正确；
∵AH=AD=AB，AH⊥NQ，
∴QN是以A为圆心，以AB为半径的圆的切线，
∴④正确．
故选A．

点评：本题考查了确定圆的条件和圆的性质，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，切线的判定的应用，主要培养学生综合运用性质和定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．