Question

【题目】已知Rt△ABC，AB＝AC，点D在△ABC的外部，且∠DAC＜90°，

（1）如图1，若AD＝AC，求∠BDC；

（2）如图2，点E在线段AC上，线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P.当点D正好和点B关于线段AC的中点对称时，

①证明：△PDE为直角三角形；

②连接BE、AD，若，直接写出＝_____．

Answer 1

【答案】（1）∠BDC＝45°；（2）①证明见解析；②8．

【解析】

（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，由等腰三角形的性质可得∠ADB＝45°﹣，∠ADC＝90°﹣，即可求解；

（2）①如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC，由中心对称的性质可得AO＝CO，BO＝DO，可证△AOB≌△COD，可得AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，由“AAS”可证△PHC≌△PGC，可得PH＝PG，由“HL”可证Rt△PEG≌Rt△PDH，可得∠EPG＝∠HPD，即可得结论；

②设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，由等腰直角三角形的性质可求AB＝AC＝CD＝4a，CH＝HP＝CG＝GP＝a，可求AE，EC的长，由三角形的面积公式可求解．

解：（1）设∠DAC＝x，则∠BAD＝90°+x，

∵AD＝AC＝AB，

∴∠ADB＝45°﹣，∠ADC＝90°﹣，

∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝45°；

（2）如图2，过点P作PH⊥CD，PG⊥AC

∵线段DE的垂直平分线交BC的延长线于点P.

∴EP＝DP，

∵点D正好和点B关于线段AC的中点O对称，

∴AO＝CO，BO＝DO，且∠AOB＝∠COD，

∴△AOB≌△COD（SAS）

∴AB＝CD，∠BAC＝∠ACD＝90°，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ACB＝45°，且∠ACD＝90°，

∴∠PCG＝∠PCH＝45°，且PC＝PC，∠PGC＝∠PHC＝90°，

∴△PHC≌△PGC（AAS）

∴PH＝PG，且EP＝DP，

∴Rt△PEG≌Rt△PDH（HL），

∴∠EPG＝∠HPD，

∵∠HCG＝∠HCP+∠GCP＝90°，PH⊥CD，PG⊥AC，

∴∠HPG＝90°，

∴∠EPG+∠EPH＝90°，

∴∠DPH+∠EPH＝90°，即∠DPE＝90°

∴△PDE为直角三角形；

②如图2，

∵，

∴设BC＝8a，BP＝11a，则CP＝3a，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝8a，

∴AB＝AC＝4a，

∴CD＝4a，

∵∠PCH＝∠PCG＝45°，PH⊥CD，PG⊥AC，

∴∠PCH＝∠PCG＝∠HPC＝∠GCP＝45°，

∴CH＝HP，CG＝GP，且CP＝3a，PH⊥CD，PG⊥AC，

∴CH＝HP＝CG＝GP＝a，

∴DH＝CD﹣CH＝a，

∵Rt△PEG≌Rt△PDH，

∴EG＝DH＝a，

∴EC＝EG﹣CG＝a，

∴AE＝a，

∴＝＝8，

故答案为8．