Question

【题目】在菱形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2cm，M为AB的中点，N为BC上一动点（不与点B重合），将△BMN沿直线MN折叠，使点B落在点E处，连接DE，CE，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

分两种情况：①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，由菱形的性质得出AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，得出∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，DE=AD=2，

求出DG=，CG=，BG=BC+CG=3，由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，证明△ADM≌△EDM，得出∠A=∠DEM=120°，证出D、E、N三点共线，设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②如图2，当CE=CD上，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（含CE=DE这种情况）．

解：分两种情况，

①如图1，当DE=DC时，连接DM，作DG⊥BC于G，

∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD=BC=2，AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DCG=∠B=60°，∠A=120°，∴DE=AD=2，

∵DG⊥BC，∴∠CDG=90°-60°=30°，

∴CG=CD=1，∴DG=CG=，BG=BC+CG=3，

∵M为AB的中点，∴AM=BM=1，

由折叠的性质得：EN=BN，EM=BM=AM，∠MEN=∠B=60°，

在△ADM和△EDM中，AD＝ED，AM＝EM ，DM＝DM，

∴△ADM≌△EDM（SSS），∴∠A=∠DEM=120°，

∴∠MEN+∠DEM=180°，∴D、E、N三点共线，

设BN=EN=x，则GN=3-x，DN=x+2，在Rt△DGN中，

由勾股定理得：（3-x）+（） =（x+2），

解得：x=，，即BN=；

②当CE=CD时，CE=CD=AD，此时点E与A重合，N与点C重合，如图2所示：

CE=CD=DE=DA，△CDE是等边三角形，BN=BC=2（符合题干要求）；

综上所述，当△CDE为等腰三角形时，线段BN的长为或2；

故答案为或2．