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阅读材料，解答问题．
已知：锐角△ABC，如图，求作：正方形DEFG，使D、E落在BC边上，F、G分别落在AC、AB边上．
作法：（1）画一个有三个顶点落在△ABC两边上的正方形D₁、E₁、F₁、G₁（如图所示）；
（2）连接BF，并延长交AC于点F；
（3）过点F作EF⊥BC于点E；
（4）过F作FG∥BC，交AB于点G；
（5）过点G作GD⊥BC于点D；则四边形DEFG即为所求作的正方形．
问题：（1）说明上述所求作四边形DEFG为正方形的理由．
（2）在△ABC中，如果BC=120，BC边上的高为80，求上述正方形DEFG的边长．
（3）若把（2）中的正方形DEFG改为矩形DEFG，且GF= $数学公式$ DG，其他条件不变，此时，GF是多少？

解：（1）证明：∵EF⊥BC，GD⊥BC，
∴∠FED=∠EDG=90°，
∵FG∥BC，
∴∠EFG=180°-∠FED=90°，
∴四边形DEFG是矩形，
∵四边形D₁E₁F₁G₁是正方形，
∴E₁F₁=F₁G₁，F₁G₁∥BC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴FG=EF，
∴四边形DEFG为正方形；

（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，
∵四边形DEFG为正方形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
设正方形DEFG的边长为x，
则AM=80，AN=80-x，
即 $\text{[math]}$ ，
解得：x=48，
∴正方形DEFG的边长为48；

（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，

∵四边形DEFG为矩形，
∴FG∥BC，
∴AN⊥GF，△AGF∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵GF= $\text{[math]}$ DG，
设GF=x，则DG=2x，AM=80，AN=AM=MN=AM-DG=80-2x，
即 $\text{[math]}$ ，
解得：x=30，
∴GF=30．
分析：（1）由EF⊥BC，GD⊥BC，FG∥BC，易得四边形DEFG是矩形，然后由四边形D₁E₁F₁G₁是正方形，可得 $\text{[math]}$ ，则可得FG=EF，即可证得四边形DEFG为正方形；
（2）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为正方形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设正方形DEFG的边长为x，即可得方程 $\text{[math]}$ ，解此方程即可求得答案；
（3）过点A作AM⊥BC于M，交FG于N，由四边形DEFG为矩形，可得△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比，设GF=x，则DG=2x，即可得方程 $\text{[math]}$ ，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、矩形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题时注意数形结合思想与方程思想的应用，注意准确作出辅助线是解此题的关键．

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24、阅读材料，解答问题．
例．用图象法解一元二次不等式：x²-2x-3＞0．
解：设y=x²-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y=0时，x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3．∴由此得抛物线y=x²-2x-3的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．∴x²-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x²-2x-3＜0的解集是

-1＜x＜3

；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x²-5x+6＜0．（画出大致图象）．

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25、阅读材料并解答问题：
我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数等式也可以用这种形式表示．例如：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²就可以用图①或图②等图形的面积来表示

（1）请写出图③所表示的等式：

（2a+b）（a+2b）=2a²+5ab+2b²

．
（2）如图所示的长方形或正方形三类卡片各有若干张，请你用这些卡片，拼成一个长方形或正方形图形．要求：所拼图形中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠，画出示意图，并写出你发现的等式．（请仿照上图在几何图形上标出有关数量）．

你发现的等式是

（a+b）（a+b）=a²+2ab+b²．

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27、阅读材料并解答问题：

如图①，将6个小长方形（或正方形）既无空隙，又不重叠地拼成一个大的长方形，根据图示尺寸，它的面积既可以表示为（2a+b）（a+b），又可以表示为2a²+3ab+b²，因此，我们可以得到一个等式：（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b²．
（1）请写出图②所表示的等式：

（a+2b）（2a+b）=2a²+5ab+2b²

．
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a²+4ab+3b²（请仿照图①或图②在几何图形上标出有关数量）．

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阅读材料，解答问题：为解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我们可以将x²-1视为一个整体，然后设x²-1=y原方程可化为y²-5y+4=0，解此方程得y₁=1，y₂=4．当y=1时，x²-1=1，∴x=±

；当y=4时，x²-1=4，∴x=±

，∴原方程的解为x₁=

，x₂=-

，x₃=

，x₄=-

．
（1）填空：在原方程得到方程y²-5y+4=0的过程中，利用了

换元

法达到了降次的目的，体现了

转化

的数学思想
（2）解方程：（x²-x）²-8（x²-x）+12=0．

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阅读材料，解答问题：
在数学课上，李老师和同学们一起探讨角平分线的作法时，李老师用直尺和圆规作角的平分线，作法如下：
①如图1，在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE；
②分别以D、E为圆心，以大于

DE的长为半径作弧，两弧交于点C；
③作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线．

小聪只带了直角三角板，他发现利用三角板也可以作角平分线，作法如下：
①如图2，利用三角板上的刻度，在OA和OB上
分别画点M、N，使OM=ON；
②分别过点M、N作OM、ON的垂线，交于点P；
③作射线OP，则OP就是∠AOB的平分线．
小颖的身边只有刻度尺，经过尝试，她发现利用刻度尺也可以作角平分线．
请你按要求完成下列问题：
（1）李老师用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的方法是

“SSS”

．
（2）小聪的作法正确吗？请说明理由．
（3）请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法（要求：画出图形，并简述过程和理由）

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