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如图，△OBC是边长为4的等边三角形，点C在x轴正半轴上，AB⊥y轴于点A，OH⊥BC于点H．动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．设动点P和Q运动的时间为t秒．
（1）求OH的长；
（2）设△OPQ的面积为S（平方单位）．求S与t之间的函数关系式，并求t为何值时，△OPQ的面积最大，最大值是多少？
（3）当△OPQ与△OCH相似时，求t的值．

分析：（1）根据，△OBC是边长为4的等边三角形，得出∠OHC=90°，CH=

BC=2，再根据勾股定理即可求出OH的长；
（2）首先表示出线段PO，作PD⊥y轴于点D，利用锐角三角函数表示出线段PD的长，然后利用三角形的面积计算方法得到有关S于t的二次函数关系式，然后求最值即可；
（3）利用相似三角形的对应边的比相等分两种情况讨论即可得到有关t的方程求得t值即可．

解答：

解：（1）∵△OBC是等边三角形，OH⊥BC，
∴∠OHC=90°，CH=

BC=2，
在Rt△OHC中，
OH=

42-22

；

（2）由题意OQ=PH=t，
OP=OH-PH=2

-t，∠POD=90°-30°=60°，
作PD⊥y轴于点D，
则PD=OP•sin60°=（2

-t）×

=3-

t，
∴S=

OQ•PD=

•t•（3-

t）=-

t²+

t （0≤t≤2

），
S=-

（t-

）²+

，
∴当t=

时，△OPQ的面积最大，最大值是

；

（3）∵∠POQ=∠OCH=60°，
∴当

或

时，△OPQ与△OCH相似，
得：

-t

或

-t

，
解得t=

或t=

，
∴t=

或t=

时，△OPQ与△OAB相似．

点评：本题考查了相似形的综合，用到的知识点是直角三角形的性质，锐角三角函数值，点的坐标的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答时运用直角三角形的性质根据三角函数值求解是关键，灵活运用抛物线的顶点式是难点．

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