Question

11．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且四边CDEF是正方形．若AE=4，BE=3，S_Rt△AFE=S₁，S_Rt△BDE=S₂，则S₁+S₂=6．

Answer 1

分析 设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，则利用勾股定理表示出BD=$\sqrt{{3}^{2}-{x}^{2}}$，再证明Rt△BED∽Rt△EAF，利用相似比求出x的值，则开始计算出S_△BDE，然后利用相似三角形的性质计算出S_△AFE，从而得到△AFE与△BDE的面积和．

解答 解：设正方形CDEF的边长为x，则EF=ED=x，
所以BD=$\sqrt{{3}^{2}-{x}^{2}}$，
∵ED∥AC，
∴∠BED=∠A，
∴Rt△BED∽Rt△EAF，
∴BD：FE=BE：AE，即 $\sqrt{{3}^{2}-{x}^{2}}$：x=3：4，
解得x=$\frac{12}{5}$，
∴BD=$\frac{9}{5}$，
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}$BD•ED=$\frac{1}{2}$•$\frac{9}{5}$•$\frac{12}{5}$=$\frac{54}{25}$，
∵$\frac{{S}_{△BDE}}{{S}_{AFE}}$=（$\frac{3}{4}$）²，
∴S_△AFE=$\frac{96}{25}$，
∴S₁+S₂=$\frac{54}{25}$+$\frac{96}{25}$=6．
故答案是：6．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了正方形的性质．