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【题目】如图,二次函数的图象与轴交于两点,点位于之间,与轴交于点,对称轴为直线,直线与抛物线交于两点,点在轴上方且横坐标小于5,则下列结论:①;②;③(其中为任意实数);④,其中正确的是(

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

【答案】C

【解析】

利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0,利用对称轴方程得到x= =2,则4a+b+c=c>0,于是可对①进行判断;点位于之间,利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点(1,0)右侧,则当x=1时,y<0,于是可对②进行判断;根据二次函数的性质得到x=2时,二次函数有最大值,则ax2+bx+c4a+2b+c,于是可对③进行判断;由于直线y=x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于CD两点,D点在x轴上方且横坐标小于5,利用函数图象得x=5时,一次函数值比二次函数值大,即25a+5b+c<5+c,然后把b=4a代入解a的不等式,则可对④进行判断.

解:∵抛物线与y轴交于正半轴,

c>0
∵抛物线的对称轴为直线x==2,∴b=4a
4a+b+c=4a4a+c=c>0,故①正确.
∵当x=5时,y<0,且抛物线的对称轴为直线x=2
∴当x=1时,y<0,∴ab+c<0,故②正确.
∵当x=2时,二次函数有最大值,

ax2+bx+c4a+2b+c
ax2+bx4a+2bx(ax+b)4a+2b,故③错误.
∵直线y=x+c与抛物线y=ax2+bx+c交于CD两点,D点在x轴上方且横坐标小于5
∴当x=5时,二次函数值小于一次函数值,即25a+5b+c<5+c,而b=4a
25a20a<5,解得a<1,故④正确.
故选C

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