Question

【题目】如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为10cm，

（1）风车在转动过程中，当∠AOE=30°时，求点A到桌面的距离.

（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路线长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，在Rt△A1OG中，利用三角函数可求得OG，从而得出点A到桌面的距离A1F；

（2）作A2H⊥MN于H，则A2H＝20cm，作A2D⊥OE于点D，则DE＝A2H．在Rt△A2OD中，由特殊角的三角函数得∠A2OD＝60°，由圆的轴对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°，从而得出点A所经过的路径长．

解：（1）如图（1），点A运动到点A1的位置时∠AOE＝30°，作A1F⊥MN于点F，A1G⊥OE于点G，

∴A1F＝GE．

在Rt△A1OG中，

∵∠A1OG＝30°，OA1＝10cm，

∴OG＝OA1cos30°＝10×cm．

∵OE＝25 cm，

∴GE＝OEOG＝25（cm），

∴A1F＝GE＝25（cm），

答：点A到桌面的距离是25厘米；

（2）如图（2），点A在旋转过程中运动到点A2、A3的位置时，点A到桌面的距离等于20厘米，作A2H⊥MN于H，则A2H＝20 cm，作A2D⊥OE于点D，

∴DE＝A2H，

∵OE＝25 cm，

∴OD＝OEDE＝2520＝5 cm，

在Rt△A2OD中，OA2＝10 cm，

∴cos∠A2OD＝，

∴∠A2OD＝60°．

由圆的对称性可知，∠A3OA2＝2∠A2OD＝120°，

∴点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路线长为：cm．

答：点A相对于桌面的高度不超过20cm所经过的路线长为厘米．