Question

13．已知：如图，点A（0，6），点B（14，8），在第四象限找点C，使得△ABC为等腰三角形，且∠C=45°，则点C的坐标为（2，-8）、（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）、（16，-6）．

Answer 1

分析 首先根据题意，判断出ABC为等腰三角形的三种情况：（1）两个腰是AB、AC；（2）两个腰是AC、BC；（3）两个腰是AB、BC；然后分类讨论，根据等腰三角形的两个腰的长度相等，以及两条相互垂直的直线的斜率的乘积是-1，分别求出点C的坐标各是多少即可．

解答 解：（1）如图1，当等腰三角形ABC的两个腰是AB、AC时，，
设点C的坐标为（a，b），BC的中点D的坐标为（$\frac{a+14}{2}，\frac{b+8}{2}$），
因为∠C=45°，所以∠B=45°，
所以∠BAC=180-45-45=90°，
即△ABC为等腰直角三角形，
所以$\frac{8-6}{14-0}×\frac{b-6}{a-0}=-1$，
整理，可得b=6-7a…（1）；
因为D是BC的中点，
所以AD⊥BC，
所以$\frac{\frac{b+8}{2}-6}{\frac{a+14}{2}-0}×\frac{b-8}{a-14}=-1$，
整理，可得a²+b²-12b-164=0…（2），
把（1）代入（2），解得a=2，
所以b=6-7×2=-8，
所以点C的坐标为（2，-8）．

（2）如图2，当等腰三角形ABC的两个腰是AC、BC时，，
设点C的坐标为（a，b），AB的中点E的坐标为（$\frac{0+14}{2}，\frac{6+8}{2}$），
即点E的坐标为（7，7），
因为E是AB的中点，
所以AB⊥CE，
所以$\frac{8-6}{14-0}×\frac{b-7}{a-7}=-1$，
整理，可得b=56-7a…（1），
因为∠C=45°，
所以$\frac{b-6}{a}$-$\frac{b-8}{a-14}$=1+$\frac{b-6}{a}$•$\frac{b-8}{a-14}$，
整理，可得a²+b²-16a-36=0…（2）；
把（1）代入（2），解得a=8±$\sqrt{2}$，
根据图示，可得C点的横坐标大于E点的横坐标，
所以a=8+$\sqrt{2}$，
所以b=56-7×（8+$\sqrt{2}$）=-7$\sqrt{2}$，
所以点C的坐标为（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）．

（3）如图3，当等腰三角形ABC的两个腰是AB、BC时，，
设点C的坐标为（a，b），AC的中点F的坐标为（$\frac{a+0}{2}，\frac{b+6}{2}$），
因为∠C=45°，所以∠BAC=45°，
所以∠B=180-45-45=90°，
即△ABC为等腰直角三角形，
所以$\frac{8-6}{14-0}×\frac{b-8}{a-14}=-1$，
整理，可得b=106-7a…（1）；
因为F是AC的中点，
所以BF⊥AC，
所以$\frac{\frac{b+6}{2}-8}{\frac{a+0}{2}-14}×\frac{b-6}{a-0}=-1$，
整理，可得a²+b²-28a-16b+60=0…（2），
把（1）代入（2），解得a=12或a=16，
根据图示，可得C点的横坐标大于B点的横坐标，
所以a=16，
所以b=106-7×16=-6，
所以点C的坐标为（16，-6）．
综上，可得
点C的坐标为（2，-8）、（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）、（16，-6）．
故答案为：（2，-8）、（8+$\sqrt{2}$，-7$\sqrt{2}$）、（16，-6）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力；解答此题的关键是判断出△ABC为等腰三角形的三种情况：（1）两个腰是AB、AC；（2）两个腰是AC、BC；（3）两个腰是AB、BC．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质，以及两条相互垂直的直线的特征，要熟练掌握．