Question

如图，已知AB∥CD，∠A=α，∠C=β，∠ABC和∠CDA的平分线交于E₁，∠E₁BC和∠E₁DA的平分线交于E₂，∠E₂BC和∠E₂DA的平分线交于E₃，按如此方式继续下去…，用α，β的代数式表示∠BE_nD的度数为

 

．

Answer 1

考点：平行线的性质,三角形内角和定理

专题：规律型

分析：根据平行线的性质得∠ABC=β，∠ADC=α，再根据角平分线的定义得∠ABE₁=

1

2

β，∠ADE₁=

1

2

α，然后利用三角形内角和定理得到∠BE₁D+∠ADE₁=∠A+∠ABE₁，即∠BE₁D+

1

2

α=α+

1

2

β，则∠BE₁D=

1

2

（α+β），同理得∠BE₂D=

3

4

（α+β），∠BE₃D=

7

8

（α+β），再利用前面的结论可得到∠BE_nD=

2n-1

2n

（α+β）．

解答：解：∵AB∥CD，∠A=α，∠C=β，
∴∠ABC=β，∠ADC=α，
∵∠ABC和∠CDA的平分线交于E₁，
∴∠ABE₁=

1

2

β，∠ADE₁=

1

2

α
∵∠BE₁D+∠ADE₁=∠A+∠ABE₁，即∠BE₁D+

1

2

α=α+

1

2

β，
∴∠BE₁D=

1

2

（α+β），
∵∠E₁BC和∠E₁DA的平分线交于E₂，
∴∠ABE₂=

3

4

β，∠ADE₂=

1

4

α，
∵∠BE₂D+∠ADE₂=∠A+∠ABE₂，即∠BE₁D+

1

4

α=α+

3

4

β，
∴∠BE₂D=

3

4

（α+β），
同理得∠BE₃D=

7

8

（α+β），
∴∠BE_nD=

2n-1

2n

（α+β）．
故答案为

2n-1

2n

（α+β）．

点评：本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了三角形内角和定理．