Question

如图，已知直线y=

1

2

x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=

1

2

x2+bx+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段OA=OB．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM-CM|的值最大，求点M的坐标．
（注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-

b

2a

）

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）易得点A（0，1），B（1，0），那么把A，B坐标代入y=

1

2

x²+bx+c即可求得函数解析式；
（2）让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨；
（3）易得|AM-MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标．

解答：解：（1）∵直线y=

1

2

x+1与y轴交于点A，
∴A点坐标为；（0，1），
∵线段OA=OB，
∴B（1，0），
将A（0，1）、B（1，0）坐标代入y=

1

2

x²+bx+c
得

c=1 1 2 +b+c=0

，
解得

b=- 3 2 c=1

，
∴抛物线的解折式为y=

1

2

x²-

3

2

x+1；

（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为

1

2

m²-

3

2

m+1，
即E点的坐标（m，

1

2

m²-

3

2

m+1），
又∵点E在直线y=

1

2

x+1上，
∴

1

2

m²-

3

2

m+1=

1

2

m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐标为（4，3）．
（Ⅰ）当A为直角顶点时，
过A作AP₁⊥DE交x轴于P₁点，设P₁（a，0）易知D点坐标为（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得

DO

OA

=

DA

AP1

即

2

1

=

1

a

，
∴a=

1

2

，
∴P₁（

1

2

，0）．
（Ⅱ）同理，当E为直角顶点时，过E作EP₂⊥DE交x轴于P₂点，
由Rt△AOD∽Rt△P₂ED得，

DO

OA

=

DE

EP2

即

2

1

=

3 5

EP2

，
∴EP₂=

3 5

2

，
∴DP₂=

3 5 × 5

3

=

15

3

∴a=

15

2

-2=

11

2

，
P₂点坐标为（

11

2

，0）．
（Ⅲ）当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P₃（t，0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由

AO

PF

=

OP

EF

得

1

4-t

=

t

3

，
解得t₁=3，t₂=1，
∴此时的点P₃的坐标为（1，0）或（3，0），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（

1

2

，0）或（1，0）或（3，0）或（

11

2

，0）；

（3）抛物线的对称轴为x=

3

2

，
∵B、C关于x=

3

2

对称，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大．
易知直线AB的解折式为y=-x+1
∴由

y=-x+1 x= 3 2

，
得

x= 3 2 y=- 1 2

，
∴M（

3

2

，-

1

2

）．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数解析式和相似三角形的判定与性质等知识，根据一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行分析；求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点得出是解题关键．