Question

如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1,0)、C(0，－3)两点，与x轴交于另一点B.

(1)求这条抛物线所对应的函数解析式；

(2)在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求出此时点M的坐标；

(3)设点P为抛物线的对称轴x＝1上的一动点，求使∠PCB＝90°的点P的坐标．

Answer 1

【解析】(1)根据题意，y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝1，且过A(－1,0)，C(0，－3)，可得

　解得

∴抛物线所对应的函数解析式为y＝x2－2x－3.

(2)由y＝x2－2x－3可得，抛物线与x轴的另一交点B(3,0)如图①，连接BC，交对称轴x＝1于点M.因为点M在对称轴上，MA＝MB.所以直线BC与对称轴x＝1的交点即为所求的M点．

设直线BC的函数关系式为y＝kx＋b，由B(3,0)，C(0，－3)，解得y＝x－3，由x＝1，解得y＝－2.

故当点M的坐标为(1，－2)时，点M到点A的距离与到点C的距离之和最小．

(3)如图②，设此时点P的坐标为(1，m)，抛物线的对称轴交x轴于点F(1,0)．连接PC、PB，作PD垂直y轴于点D，则D(0，m)．

在Rt△CDP中，

CD＝|m－(－3)|＝|m＋3|，DP＝1，

∴CP2＝CD2＋DP2＝(m＋3)2＋1.

在Rt△PFB中，PF＝|m|，FB＝3－1＝2，

∴PB2＝PF2＋FB2＝m2＋4.

在Rt△COB中，CB2＝OB2＋OC2＝32＋32＝18.

当∠PCB＝90°时，有CP2＋CB2＝PB2.

即(m＋3)2＋1＋18＝m2＋4.解得m＝－4.

∴使∠PCB＝90°的点P的坐标为(1，－4)．