Question

已知：关于x的一元二次方程mx²-（2m+n）x+m+n=0①．
（1）求证：方程①有两个实数根；
（2）求证：方程①有一个实数根为1；
（3）设方程①的另一个根为x₁，若m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根时，确定关于x的二次函数y=mx²-（2m+n）x+m+n的解析式；
（4）在（3）的条件下，把Rt△ABC放在坐标系内，其中∠CAB=90°，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），BC=5，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在抛物线上时，求△ABC平移的距离．

Answer 1

分析：（1）首先表示出方程①的根的判别式，若方程有两个实数根，那么判别式应大于等于0，结合非负数的性质进行证明即可．
（2）可利用十字相乘法将方程左边进行因式分解，即可得到方程必有一根为1．
（3）由（2）可得x₁的表达式，即x₁=

m+n

m

，若m+n=2，且x₁为整数，那么m可取1或2，然后结合（1）（2）的结论将不合题意的m值舍去，即可确定m的值，进而可得抛物线的解析式．
（4）首先根据已知条件确定出点C的坐标；然后设出平移后的点C坐标，由于此时C点位于抛物线的图象上，可将其代入抛物线的解析式中，即可确定出平移后的点C坐标，进而可得平移的距离．

解答：证明：（1）∵a=m，b=-（2m+n），c=m+n
∴△=b²-4ac=[-（2m+n）]²-4m（m+n）
=4m²+4mn+n²-4m²-4mn
=n²（1分）
∵无论n取何值时，都有n²≥0
∴△≥0
∴方程①有两个实数根．（2分）

（2）∵原方程可化为：（mx-m-1）（x-1）=0，（3分）
∴x1=

m+n

m

，x2=1；
∴方程①有一个实数根为1．（4分）

（3）由题意可知：方程①的另一个根为x1=

m+n

m

，
∵m+n=2，m为正整数且方程①有两个不相等的整数根，
∴m=1，
∴二次函数的解析式：y=x²-3x+2．（5分）

（4）由题意可知：AB=3，
由勾股定理得：AC=4
∴C点的坐标为（1，4）
当△ABC沿x轴向右平移，此时设C点的坐标为（a，4）（6分）
∵C在抛物线上，
∴

4=a2-3a+2 a2-3a-2=0

，
∴a=

3± 17

2

，舍去负值，
∴a=

3+ 17

2

；
∴△ABC平移的距离：

3+ 17

2

-1=

1+ 17

2

．（7分）

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、二次函数解析式的确定以及函数图象上点的坐标特征，难度适中．