Question

（本题满分8分）在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于E．

（1）求证△ABD为等腰三角形．

（2）求证AC•AF＝DF•FE．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）证法一：连CF、BF

∠ACD=∠MCD=∠CDB＋∠CBD=∠CFB＋∠CFD=∠DFB

而∠ACD=∠DFB=∠DAB又∠ACD=∠DBA

∴∠DAB=∠DBA    ∴△ABD为等腰三角形  ……（3分）

证法二：

由题意有∠MCD=∠ACD =∠DBA,又∠MCD+∠BCD=∠DAB+∠BCD=180°,

∴∠MCD=∠DAB，∴∠DAB=∠DBA即△.ABD为等腰三角形    ……（3分）

（2）由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，

∴弧CD=弧DF,∴弧CD=弧DF……①                     ……（4分）

又BC=AF,∴∠BDC=∠ADF,∠BDC＋∠BDA=∠ADF＋∠BDA，即∠CDA=∠BDF，

而∠FAE＋∠BAF=∠BDF＋∠BAF=180°，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，

同理∠DCA=∠AFE                                     ……（6分）

∴在△CDA与△FDE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE

∴△CDA∽△FAE

∴ ,即CD·EF=AC·AF，又由①有AC·AF=DF·EF

命题即证          ……（8分）

 

 【解析】略