Question

【题目】如图，已知抛物线 与轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与轴交于点C（0，3），动点P在抛物线上，直线PE与抛物线的对称轴交于点M，点E的坐标为（-2，0）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若P与C关于抛物线的对称轴对称，求直线PE的函数表达式；

（3）若PM=EM，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+2x+3；（2）y=；（3）点P的坐标为(，)或（，）.

【解析】分析：（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线中，解出即可.

（2）设PE的函数表达式y=kx+m，根据题意算出P点坐标,把P、E的坐标代入y=kx+m中，求出k、m的值即可.

（3）根据相似三角形的性质即可解答.

详解：(1) ∵抛物线与x轴交于A(-1,0)，B(3，0)，

∴可设抛物线的函数表达式为，

将C(0，3)代入，得：3=a×（0+1）（0-3），∴ａ＝-1，

∴抛物线的函数表达式为y=-(x+1)(x-3).

即y=-x2+2x+3 .

(2) ∵抛物线的对称轴为x=，

∴点C（0，3）关于对称轴x=1对称的点为(2，3)，

∴由题意知，此时点P的坐标为(2，3)，

设直线PE的函数表达式为y=kx+m，

将P(2，3)，E(-2，0)代入，

得： 解得：.

∴直线PE的函数表达式为y=.

（3）如图，设对称轴x=1与x轴的交点为F，过P作PH垂直对称轴x=1于点H，

∵对称轴x=1与x轴垂直，

∴Rt△PMH∽Rt△EMF，∴，

设动点P的坐标为(x，y)，

∵动点P可能在对称轴x=1的左侧或右侧的抛物线上，∴PH＝|x-1|，

又EF=3，PM=EM，

∴，∴x-1=，x=或x=，

当x=时，y=-(+1)( -3)= ，

当x=时，y=-(+1)( -3)= ，

∴所求点P的坐标为(，)或（，）.