Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，交y轴于C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与B、C重合），过E作EF与x轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x．EF的长度为L，求L关于x的函数关系式？并写出x的取值范围？
（3）在（2）的条件下，当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，然后写出解析式即可；
（2）令x=0求出y的值，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BC的解析式，然后根据EF的长度等于点E的纵坐标减去点F的纵坐标列式整理即可，再根据点E在抛物线B、C间的图象上写出x的取值范围；
（3）根据二次函数的最值问题解答即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交与A（1，0），B（-3，0）两点，
∴

-1+b+c=0 -9-3b+c=0

，
解得

b=-2 c=3

，
∴该抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）令x=0，则y=3，
所以，点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

-3k+b=0 b=3

，
解得

k=1 b=3

，
所以，直线BC的解析式为y=x+3，
设E点横坐标为x，
EF的长度为L=-x²-2x+3-（x+3）=-x²-3x，
∵E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与B、C重合），
∴-3＜x＜0，
∴L关于x的函数关系式为L=-x²-3x（-3＜x＜0）；

（3）∵EF的长度L=-（x+

3

2

）²+

9

4

，
∴当x=-

3

2

时，线段EF的值最大为

9

4

，
此时，-（-

3

2

）²-2×（-

3

2

）+3=

15

4

，
所以，点E（-

3

2

，

15

4

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，难点在于（2）利用两点的纵坐标的差表示出线段的长度．