Question

19．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C，D两点距离之和d=MC+MD 最小，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）由条件可求得D点坐标，则可求得反比例函数解析式；
（2）联立直线与反比例函数解析式可求得C点坐标；
（3）找C点关于y轴的对称点为C′，连接C′D交y轴于点，由对称的性质可知M点即为所求的点．

解答 解：
（1）∵A（1，3），AB⊥x轴于点D，
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D（1，1），
∵点D在反比例函数图象上，
∴1=$\frac{k}{1}$，解得k=1，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{1}{x}$；
（2）联立直线与反比例函数解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=3x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴C（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）；
（3）设点C关于y轴的对称点为C′，
∴C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），
连接C′D交y轴于点M，
′
则MC=MC′，
∴d=MC+MD=MC′+MD=DC′，
∴点M即为满足条件的点，
设直线C′D解析式为y=mx+n，
把C′、D的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{3}}{3}m+n=\sqrt{3}}\\{m+n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3\sqrt{3}-6}\\{n=-2\sqrt{3}+6}\end{array}\right.$，
∴直线C′D的解析式为y=（3$\sqrt{3}$-6）x+（-2$\sqrt{3}$+6），
令x=0可得y=6-2$\sqrt{3}$，
∴M（0，6-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、轴对称的性质等知识．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中注意函数图象交点的求法，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．