Question

已知直线y=x+4与x轴，y轴分别交于A、B两点， ∠ABC=60°，BC与x轴交于点C。
（1）试确定直线BC的解析式；
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合） ，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度，设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由已知得A点坐标（-4，0），B点坐标（0，4）， ∵OA=4，OB=4， ∴∠BAO=60°， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵OC=OA=4， ∴C点坐标（4，0）， 设直线BC解析式为y=kx+b，   ∴， ∴直线BC的解析式为y=-；
（2）当P点在AO之间运动时，作QH⊥x轴， ∵，  ∴， ∴QH=t， ∴S△APQ=AP·QH=t·t=t2（0＜t≤4）， 同理可得S△APQ=t·（8）=-（4≤t＜8）；
（3）存在，（4，0），（-4，8）；（-4，-8）；（-4，）。