Question

【题目】如图1，△CEF的顶点C、E、F分别与正方形ABCD的顶点C、A、B重合．

（1）若正方形的边长为，用含的代数式表示：正方形ABCD的周长等于 ，△CEF的面积等于 ．

（2）如图2，将△CEF绕点A顺时针旋转，边CE和正方形的边AD交于点P． 连结AE， 设旋转角∠BCF=β．

①试证：∠ACF=∠DCE；

②若△AEP有一个内角等于60°，求β的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①见解析；②=15°

【解析】

（1）由正方形的性质和三角形面积公式可求解；
（2）①由正方形的性质可得∠ACB=∠ACD=45°，由旋转的性质可得∠BCF=∠ACE，即可得结论；
②分三种情况讨论，由三角形内角和定理可求解．

（1）∵正方形的边长为a
∴正方形ABCD的周长=4a，△CEF的面积=，
故答案为：4a，，
（2）①四边形ABCD是正方形
∴∠ACB=∠ACD=45°=∠DAC，
∵将△CEF绕点C顺时针旋转，
∴∠BCF=∠ACE=β，AC=CE
∴∠ACF=∠DCE
②若∠APE=60°，
∴∠ACE=∠APE-∠DAC=60°-45°=15°
∴∠BCF=β=15°
若∠AEP=60°，且AC=EC
∴△AEC是等边三角形
∴∠ACE=60°
∴∠BCF=β=60°

P在AD延长线上，不符合题意舍去，

若∠EAP=60°，
∴∠EAC=105°，且AC=CE，
∴∠EAC=∠AEC=105°
∴∠EAC+∠AEC+∠ACE＞180°
∴不合题意舍去，

故答案为β=15°.