Question

【题目】阅读下面材料：

对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这个圆所覆盖.

对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖.

例如：图1中①的三角形被一个圆覆盖，②中的四边形被两个圆所覆盖.

回答下列问题：

(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是______ cm;

(2)边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm;

(3)长为2 cm，宽为1 cm的矩形被两个半径均为r的圆所覆盖，r的最小值是_____ cm.这两个圆的圆心距是_____ cm.。

Answer 1

【答案】（1) ；

(2)；

(3) ， 1.

【解析】试题分析：（1）边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，则r应大于等于正方形对角线的一半，即半径最小为；（2）当圆外接三角形时圆的半径最小，如图，根据勾股定理可求得圆的半径是；（3）根据对称性可知两圆的交点分别是AD和BC的中点，将矩形分成两个相等的小正方形，圆的最小半径就是小正方形的对角线的一半，圆心距就是小正方形的边长.

（1)以正方形的对角线为直径做圆是覆盖正方形的最小圆，半径r的最小值＝;

(2) 边长为1 cm的等边三角形被一个半径为r的圆所覆盖，这个最小的圆是正三角形的外接圆，如图作三角形ABC的高AD构成直角三角形ABD，斜边AB＝1，BD＝，

所以AD＝，因为三角形是正三角形，

所以∠ABC＝60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD＝OB，

设OA＝OB=x，则OD＝x，

在直角三角形OBD中，根据勾股定理列方程：，

解得：x＝.

(3)如图：矩形ABCD中AB＝1，BC＝2，

则覆盖ABCD的两个圆与矩形交于E、F两点，

由对称性知E、F分别是AD和BC的中点，

则四边形ABFE、EFCD是两个边长为1的正方形，

所以圆的半径r＝, 两圆心距＝ 1.