Question

18．如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为$\frac{9}{20}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论．

解答 解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2
∵BF=2FC，BC=AD=3，
∴BF=AH=2，FC=HD=1，
∴AF=$\sqrt{F{H}^{2}+A{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵OH∥AE，
∴$\frac{HO}{AE}$=$\frac{DH}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴OH=$\frac{1}{3}$AE=$\frac{1}{3}$，
∴OF=FH-OH=2-$\frac{1}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴$\frac{AM}{FM}$=$\frac{AE}{FO}$=$\frac{3}{5}$，
∴AM=$\frac{3}{8}$AF=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴$\frac{AN}{FN}$=$\frac{AD}{BF}$=$\frac{3}{2}$，
∴AN=$\frac{3}{5}$AF=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$，
∴MN=AN-AM=$\frac{6\sqrt{2}}{5}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{9\sqrt{2}}{20}$．
故答案为：$\frac{9}{20}\sqrt{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．