已知矩形ABCD中.AB=6cm.BC=8cm.点P.Q分别在边AC.AD上.且点P不与点A.C重合.DQ=k•AP.联接BQ.BP．(1)如图1.当AP=1.K=2.求BQ的长,(2)如图2.B.P.Q三点在同一直线上.且BQ⊥AC.求k的值．(3)如图3.当k=2时.若BQ交AC于点K.点P在AK上.设AP=x.△BPQ的面积为y.求y关于x的函数关系式.并写出x� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．已知矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AC、AD上，且点P不与点A、C重合，DQ=k•AP（k＞0），联接BQ、BP．

（1）如图1，当AP=1，K=2，求BQ的长；
（2）如图2，B、P、Q三点在同一直线上，且BQ⊥AC，求k的值．
（3）如图3，当k=2时，若BQ交AC于点K，点P在AK上，设AP=x，△BPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．

分析（1）在Rt△ABQ中，求出AQ，利用勾股定理即可求出BQ；
（2）解直角三角形求出PA、DQ的值即可解决问题；
（3）如图3中，作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N．则PM=$\frac{3}{5}$x，PN=$\frac{4}{5}$x．首先求出B、P、Q共线时x的值，分两种情形分别求解即可；

解答解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，∠BAD=90°，
∵QD=2AP，AP=1，
∴DQ=2，AQ=6，
在Rt△ABQ中，BQ=$\sqrt{A{B}^{2}+A{Q}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{2}$．

（2）如图2中，

在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BP，
∴PB=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$，
∴PA=$\sqrt{A{B}^{2}-B{P}^{2}}$=$\frac{18}{5}$，
∴PC=AC-AP=$\frac{32}{5}$，
∵AQ∥BC，
∴$\frac{AQ}{BC}$=$\frac{AP}{PC}$，
∴$\frac{AQ}{8}$=$\frac{\frac{18}{5}}{\frac{32}{5}}$，
∴AQ=$\frac{9}{2}$，
∴DQ=8-$\frac{9}{2}$=$\frac{7}{2}$，
∴$\frac{7}{2}$=k•$\frac{18}{5}$，
∴k=$\frac{35}{36}$．

（3）如图3中，作PM⊥AD于M，PN⊥AB于N．则PM=$\frac{3}{5}$x，PN=$\frac{4}{5}$x．

∵DQ＜8，
∴2x＜8，
∴0＜x＜4．
当B、P、Q共线时，$\frac{8-2x}{8}$=$\frac{x}{10-x}$解得x=18-2$\sqrt{61}$或18+2$\sqrt{61}$（舍弃），
∴当0＜x＜18-2$\sqrt{61}$时，y=S_△ABQ-S_△APQ-S_△ABP=$\frac{1}{2}$•6•（8-2x）-$\frac{1}{2}$•（8-2x）•$\frac{3}{5}$x-$\frac{1}{2}$•8•$\frac{4}{5}$x=$\frac{3}{5}$x²-$\frac{58}{5}$x+24．
当18-2$\sqrt{61}$＜x＜4时，y=S_△APQ+S_△ABP-S_△ABQ=$\frac{1}{2}$•（8-2x）•$\frac{3}{5}$x+$\frac{1}{2}$•8•$\frac{4}{5}$x-$\frac{1}{2}$•6•（8-2x）=-$\frac{3}{5}$x²+$\frac{58}{5}$x-24．

点评本题考查矩形的性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

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