Question

4．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．
（1）求证：∠BAD：∠CAD=1：2；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．

Answer 1

分析 （1）由角平分线得出∠ABC，得出∠BAD=26°，再求出∠C，得出∠CAD=52°，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当∠EFC=90°时；②当∠FEC=90°时；由角的互余关系和三角形的外角性质即可求出∠BEF的度数．

解答 （1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=64°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=90°-64°=26°，
∵∠C=∠AEB-∠EBC=70°-32°=38°，
∴∠CAD=90°-38°=52°，
∴∠BAD：∠CAD=1：2；

（2）解：分两种情况：
①当∠EFC=90°时，如图1所示：
则∠BFE=90°，
∴∠BEF=90°-∠EBC=90°-32°=58°；
②当∠FEC=90°时，如图2所示：
则∠EFC=90°-38°=52°，
∴∠BEF=∠EFC-∠EBC=52°-32°=20°；
综上所述：∠BEF的度数为58°或20°．

点评 本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质，角的互余关系；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．