Question

【题目】已知：△ABC内接于⊙O，D是 上一点，OD⊥BC，垂足为H．
（1）如图1，当圆心O在AB边上时，求证：AC=2OH；
（2）如图2，当圆心O在△ABC外部时，连接AD、CD，AD与BC交于点P，求证：∠ACD=∠APB；
（3）在（2）的条件下，如图3，连接BD，E为⊙O上一点，连接DE交BC于点Q、交AB于点N，连接OE，BF为⊙O的弦，BF⊥OE于点R交DE于点G，若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，AC=5 ，BN=3 ，tan∠ABC= ，求BF的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵OD⊥BC，

∴由垂径定理可知：点H是BC的中点，

∵点O是AB的中点，

∴OH是△ABC的中位线，

∴AC=2OH；

（2）解：∵OD⊥BC，

∴由垂径定理可知： ，

∴∠BAD=∠CAD，

∵ ，

∴∠ABC=∠ADC，

∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC，

∴∠ACD=∠APB，

（3）解：连接AO延长交于⊙O于点I，连接IC，AB与OD相交于点M，

∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN，

∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN，

∵∠ABD+∠BDN=∠AND，

∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND，

∵∠ACD+∠ABD=180°，

∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND，

∴∠AND=180°﹣∠AND，

∴∠AND=90°，

∵tan∠ABC= ，BN=3 ，

∴NQ= ，

∴由勾股定理可求得：BQ= ，

∵∠BNQ=∠QHD=90°，

∴∠ABC=∠QDH，

∵OE=OD，

∴∠OED=∠QDH，

∵∠ERG=90°，

∴∠OED=∠GBN，

∴∠GBN=∠ABC，

∵AB⊥ED，

∴BG=BQ= ，GN=NQ= ，

∵AI是⊙O直径，

∴∠ACI=90°，

∵tan∠AIC=tan∠ABC= ，

∴ = ，

∴IC=10 ，

∴由勾股定理可求得：AI=25，

连接OB，

设QH=x，

∵tan∠ABC=tan∠ODE= ，

∴ ，

∴HD=2x，

∴OH=OD﹣HD= ﹣2x，

BH=BQ+QH= +x，

由勾股定理可得：OB2=BH2+OH2，

∴（ ）2=（ +x）2+（ ﹣2x）2，

解得：x= 或x= ，

当QH= 时，

∴QD= QH= ，

∴ND=QD+NQ=6 ，

∴MN=3 ，MD=15

∵MD＞ ，

∴QH= 不符合题意，舍去，

当QH= 时，

∴QD= QH=

∴ND=NQ+QD=4 ，

由垂径定理可求得：ED=10 ，

∴GD=GN+ND=

∴EG=ED﹣GD= ，

∵tan∠OED= ，

∴ ，

∴EG= RG，

∴RG= ，

∴BR=RG+BG=12

∴由垂径定理可知：BF=2BR=24．

【解析】（1）OD⊥BC可知点H是BC的中点，又中位线的性质可得AC=2OH；（2）由垂径定理可知： ，所以∠BAD=∠CAD，由因为∠ABC=∠ADC，所以∠ACD=∠APB；（3）由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°，由tan∠ABC= 可知NQ和BQ的长度，再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC，所以BG=BQ，连接AO并延长交⊙O于点I，连接IC后利用圆周角定理可求得IC和AI的长度，设QH=x，利用勾股定理可求出QH和HD的长度，利用垂径定理可求得ED的长度，最后利用tan∠OED= 即可求得RG的长度，最后由垂径定理可求得BF的长度．