Question

【题目】（1）问题背景：

如图1，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，连接MN，且∠MAN＝45°，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG，可证△AMG≌△AMN，易得线段MN、BM、DN之间的数量关系为：　 　（直接填写）；

（2）实践应用：

在平面直角坐标系中，边长为5的正方形OABC的两顶点分别在y轴、x轴的正半轴上，O在原点．现将正方形OABC绕点O按顺时针方向旋转，旋转角为θ，当点A第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N．如图2，设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中，P值是否有变化？请证明你的结论；

（3）拓展研究：

如图3，将正方形改为长与宽不相等的矩形，且∠MAN＝∠CMN＝45°，请你直接写出线段MN、BM、DN之间的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）MN＝BM+DN；（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变；（3）MN2＝2BM2+2DN2 ，理由见解析．

【解析】

（1）由旋转的性质可得出DN＝BG，由全等的性质可得出MG＝MN，结合MG＝BM+BG即可得出MN＝BM+DN；

（2）将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE，易证△MON≌△EON（SAS），利用全等三角形的性质可得出MN＝EN＝CN+AM，再利用三角形的周长公式结合正方形的边长，即可求出S的值；

（3）将△ABM绕点O逆时针旋转90°，得到△AB′M′，则△AMN≌△AM′N，利用全等三角形的性质可得出M′N＝MN，由∠C＝90°，∠CMN＝45°可得出CM＝CN，设BM＝a，DN＝b，CM＝c，则AD＝a+c，CD＝b+c，进而可得出M′F＝a﹣b，NF＝b+a，在Rt△M′FN中，利用勾股定理可求出M′N2＝2a2+2b2，进而可得出MN2＝2BM2+2DN2．

解：（1）由旋转，可知：DN＝BG．

∵△AMG≌△AMN，

∴MG＝MN．

∵MG＝BM+BG＝BM+DN，

∴MN＝BM+DN．

故答案为：MN＝BM+DN．

（2）在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．

证明：在图2中，将△AOM绕点O顺时针旋转90°，得到△COE．

由旋转，可知：OM＝OE，AM＝CE，∠AOM＝∠COE，∠MOE＝90°．

∵直线OM的解析式为y＝x，

∴∠MON＝45°．

∵∠MOE＝90°，

∴∠EON＝45°．

在△MON和△EON中，

，

∴△MON≌△EON（SAS），

∴MN＝EN＝CN+AM．

∴S＝BM+BN+MN＝BM+AM+BN+CN＝2AB＝10，

∴在旋转正方形OABC的过程中，P值不变．

（3）MN2＝2BM2+2DN2．理由如下：

在图3中，将△ABM绕点O逆时针旋转90°，得到△AB′M′．

由（2）可知△AMN≌△AM′N，

∴M′N＝MN．

∵∠C＝90°，∠CMN＝45°，

∴CM＝CN．

设BM＝a，DN＝b，CM＝c，则AD＝a+c，CD＝b+c，

∴M′F＝AD﹣AB′＝AD﹣AB＝a+c﹣（b+c）＝a﹣b，

NF＝DN+DF＝DN+B′M′＝DN+BM＝b+a．

在Rt△M′FN中，M′N2＝M′F2+NF2＝（a﹣b）2+（a+b）2＝2a2+2b2，

∴MN2＝2BM2+2DN2．