如图.点P.Q分别是边长为1cm的正方形ABCD的边BC和对角线AC上的两个动点.点P从B出发.朝BC方向运动.速度为1cm/s,点Q从从A出发.朝AC方向运动.速度为2cm/s.只要有一点运动到点C.两点就停止动．设运动的时间为x(s).△APQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围,(2)在运动过程中.能否使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（2013•湖州二模）如图，点P，Q分别是边长为1cm的正方形ABCD的边BC和对角线AC上的两个动点，点P从B出发，朝BC方向运动，速度为1cm/s；点Q从从A出发，朝AC方向运动，速度为

cm/s，只要有一点运动到点C，两点就停止动．设运动的时间为x（s），△APQ的面积为y（cm²）．
（1）求y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围；
（2）在运动过程中，能否使△APQ的面积为正方形ABCD的面积的六分之一？若能，求x值；若不能，请说明理由．

分析：（1）过点P作PE⊥AC于E，根据正方形的对角线平分一组对角求出∠ACB=45°，然后判断出△PCE是等腰直角三角形，然后表示出PC，并根据等腰直角三角形的性质求出PE，再利用三角形的面积公式列式计算即可得到y与x的关系式，根据时间=路程÷速度分别求出点P、点Q到达点C的时间即可得到x的取值范围；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式判定符合条件的点P、Q不存在．

解答：

解：（1）如图，过点P作PE⊥AC于E，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，
∴△PCE是等腰直角三角形，
∵点P的速度为1cm/s，
∴PC=1-x，
∴PE=

PC=

（1-x），
∵点Q的速度为

cm/s，
∴AQ=

x，
∴△APQ的面积为y=

AQ•PE=

•

x•

（1-x），
=-

x²+

x，
∵正方形的边长为1，
∴AC=

×1=

，
∴点P运动是时间为1÷1=1，
点Q运动的时间为

=1，
∴y=-

x²+

x（0≤x≤1）；

（2）根据题意得，-

x²+

×1，
整理得，3x²-3x+1=0，
∵△=（-3）²-4×3×1=-3＜0，
∴方程没有实数根，
∴这样的点不存在．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，根的判别式的应用，（1）作辅助线构造出等腰直角三角形并求出AQ边上的高线是解题的关键，也是本题的难点．

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