Question

已知x₁、x₂是方程x²-2kx+k²-k=0的两个实数根．是否存在常数k，使

x1

x2

+

x2

x1

=

3

2

成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：由于方程有实数根，根据一元二次方程的根的判别式确定k取什么值，然后根据根与系数的关系化简代数式，求出k的值，再检查k的值是否满足原方程有实数根，从而确定是否存在k值．

解答：解：∵a=1，b=-2k，c=k²-k
而△=b²-4ac=（-2k）²-4（k²-k）=4k
∴当k≥0时，方程有实数根；
∵x₁+x₂=2k，x₁x₂=k²-k，
而

x1

x2

+

x2

x1

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=

4k2-2(k2-k)

k2-k

=

3

2

，
整理，解得：k₁=0，k₂=-7（舍去），
当k=0时，x₁=x₂=0，

x1

x2

，

x2

x1

无意义；
故不存在常数k，使

x1

x2

+

x2

x1

=

3

2

成立．

点评：本题考查一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系的运用．还应用了怎样化简代数式，及怎样验根．