Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，tan∠FBD是____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

由题意得：DF=DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD=BD=3；而AC=4，由勾股定理得到AD=5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．

由题意得：DF=DB，

∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点，
∴CD=BD=3；而AC=4，
由勾股定理得：AD2=AC2+CD2
∴AD=5，而FD=3，
∴FA=5-3=2，即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB=90°，
∴FH∥AC，
∴△DFH∽△ADC，
∴，即
∴HF=，DH=，
∴BH=，
∴tan∠FBD==．
故答案为：．