Question

如图，l₁，l₂，l₃，l₄是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为h，正方形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，且正方形ABCD的面积是25．
（1）连接EF，证明△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等．
（2）求h的值．

Answer 1

分析：（1）△ABE和△FBE同底同高，因而面积相等，同理△FBE和△EDF的面积相等，△EDF和△CDF的面积相等，因而△ABE、△FBE、△EDF、△CDF的面积相等．
（2）根据正方形的面积就可以求出边长，得到AE，AB的长，根据勾股定理得到BE的长，△ABE的面积是长方形的面积的

1

4

，再根据三角形的面积等于

1

2

BE•h就可以求出h的长．

解答：（1）证明：连接EF，
∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，且四边形ABCD是正方形，
∴BE∥FD，BF∥ED，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴BE=FD，（2分）
又∵l₁、l₂、l₃和l₄之间的距离为h，
∴S_△ABE=

1

2

BE•h，S_△FBE=

1

2

BE•h，
S_△EDF=

1

2

FD•h，S_△CDF=

1

2

FD•h，
∴S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF．（4分）

（2）解：过A点作AH⊥BE于H点，过E点作EM⊥FD于M点，
方法一：∵S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF，
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S_△ABE=

25

4

，且AB=AD=5，（7分）
又∵l₁∥l₂∥l₃∥l₄，每相邻的两条平行直线间的距离为h，
∴AH=EM=h，
∵AH⊥l₂，EM⊥l₃，l₂∥l₃，
∴∠3=∠4=90°，AH∥EM，
∴∠1=∠2，
∴△AHE≌△EMD，
∴AE=DE，
同理：BF=FC，
∴E、F分别是AD与BC的中点，
∴AE=

1

2

AD=

5

2

，
∴在Rt△ABE中，
BE=

AB2+AE2

=

5 5

2

，（10分）
又∵AB•AE=BE•AH，
∴AH=

AB•AE

BE

=

5× 5 2

5 5 2

=

5

．（12分）
方法二：不妨设BE=FD=x（x＞0），
则S_△ABE=S_△FBE=S_△EDF=S_△CDF=

xh

2

，（6分）
又∵正方形ABCD的面积是25，
∴S_△ABE=

1

2

xh=

25

4

，且AB=5，
则xh=

25

2

①，（8分）
又∵在Rt△ABE中：AE=

BE2-AB2

=

x2-52

，
又∵∠BAE=90°，AH⊥BE，
∴Rt△ABE∽Rt△HAE，
∴

AH

AB

=

AE

BE

，即

h

5

=

x2-52

x

，
变形得：（hx）²=25（x²-5²）②（10分），
把①两边平方后代入②得：

252

4

=25（x²-5²）③，
解方程③得x=

5 5

2

（x=-

5 5

2

舍去），
把x=

5 5

2

代入①得：h=

5

．（12分）

点评：本题主要考查了勾股定理，根据三角形的面积公式得到四个三角形的面积相等是解决本题的关键．