Question

已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中A点的横坐标与B点的纵坐标都是2，如图：
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）在y轴是否存在一点P使△OAP为等腰三角形？若存在，请在坐标轴相应位置上用P₁，P₂，P₃…标出符合条件的点P；（尺规作图完成）若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）反比例函数的图象经过A，B两点，且A点的横坐标与B点的纵坐标都是2；
∴当x=2时，，把y=2代入解得：x=-4
∴A点的坐标为（2，-4），B点的坐标为（-4，2）；
∵y=kx+b（k≠0）经过A，B两点；
∴把A（2，-4），B（-4，2）代入y=kx+b（k≠0）得：
解得：k=-1，b=-2；
把k=1，b=2代入y=kx+b（k≠0）得：y=-x-2；

（2）设直线AB交x轴于点C，把y=0代入y=-x-2解得：x=-2；
∴点C的坐标是C（-2，0）；
∴S_△AOB=S_△BOC+S_△OAC=
=
=
=6

（3）如图，P₁，P₂，P₃为所求，它们的坐标分别为：，，P₃（0，-8），．
分析：（1）因为反比例函数解析式已知，所以把A点的横坐标与B点的纵坐标代入即可求出A点的纵坐标与B点的横坐标，然后代入一次函数解析式中，用待定系数法解答．
（2）在（1）的基础上，可求出一次函数与x轴的交点，利用求和的方法解答．
（3）当OA为腰时，有三个点符合条件，当OA为底时，有一个点符合条件．
点评：此题主要考查了一次函数、反比例函数、待定系数法以及等腰三角形的性质等，难易程度适中．