已知:在矩形ABCD中.E为边BC上的一点.AE⊥DE.AB=12.BE=16.F为线段BE上一点.EF=7.连接AF.如图1.现有一张硬纸片△GMN.∠NGM=900.NG=6.MG=8.斜边MN与边BC在同一直线上.点N与点E重合.点G在线段DE上.如图2.△GMN从图1的位置出发.以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动.同时.点P从A点出发.以每秒1个单位的速度沿AD向点D� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知：在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接AF。如图1，现有一张硬纸片△GMN，∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上。如图2，△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ。当点N到达终点B时，△GMNP和点同时停止运动。设运动时间为t秒，解答问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及自变量t的取值范围。

解：（1）∵∠NGM=90⁰，NG=6，MG=8，，
∴由勾股定理，得NM=10。
当点G在线段AE上时，如图，

此时，GG′=MN=10。
∵△GMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，
∴t=10秒。
（2）存在。
由矩形ABCD中，AB=12，BE=16，得AE=20。
①当0＜t≤10时，线段GN与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

根据题意，知AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得

，即

，∴

。
由△QHE∽△NGM得

，即

，
∴

。
∴

。
若AP=AQ，则

，解得

，不存在；
若AP=PQ，则

，△＜0，无解，不存在；
若AQ=PQ，则

，无正数解，不存在。
②当10＜t≤16时，线段GN的延长线与线段AE相交，如图，过点Q作QH⊥BC于点H，QI⊥AB于点I，过点P作PJ⊥IJ于点J。

同上，AP=EN=t，
由△QNE∽△GNM得

，即

，∴

。
由△QHE∽△NGM得

，即

，
∴

。
∴

。
若AP=AQ，则

，解得

。
若AP=PQ，则

，△＜0，无解，不存在；
若AQ=PQ，则

，无正数解，不存在。
综上所述，存在

，使△APQ是等腰三角形。
（3）S与t的函数关系式为

。

（1）由勾股定理，求出MN的长，点Q运动到AE上时的距离MN的长，离从而除以速度即得t的值。
（2）分0＜t≤10和10＜t≤16两种情况讨论，每种情况分AP=AQ，AP=PQ，AQ=PQ三种情况讨论。
（3）当0＜t≤7时，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△QNE的面积，
由（2）①，EN=t，

，∴

。
当7＜t≤10时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形QIFE的面积，它等于△NQE的面积减去△NIF的面积。

由（2）①，EN=t，

，∴

。
过点I 作IJ⊥BC于点J，
∵EF=7，EN=t，∴

。
由△FJI∽△FBA得

，即

。
由△INJ∽△MNG得

，即

。
二式相加，得

。∴

∴

。
当10＜t≤

时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于四边形GIFM的面积，它等于△GMN的面积减去△INF的面积。
过点I 作IH⊥BC于点H，

∵EF=7，EN=t，∴

。
由△FHG∽△FBA得

，即

。
由△INH∽△MNG得

，即

。
二式相加，得

。∴

。
∴

。
当

＜t≤16时，如图，△GMN与△AEF重叠部分的面积等于△IFM的面积。

∵

，

（同上可得），
∴

。
综上所述，

。

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