Question

17．如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为3-$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据AB=CD=4、C为线段AB的中点可得BC=AC=2、AD=2$\sqrt{5}$，再根据EH⊥DC、CD⊥AB、BE⊥AB得EH∥AC、四边形BCGE为矩形，BC=GE=2，继而由AE是∠DAB的平分线可得∠DAE=∠HEA即HA=HE，设GH=x得HA=2+x，由△DHG∽△DAC得$\frac{DH}{DA}$=$\frac{HG}{AC}$，列式即可求得x．

解答 解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，
∴BC=AC=2，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，
∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，
∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，
又∵AE是∠DAB的平分线，
∴∠EAB=∠DAE，
∴∠DAE=∠HEA，
∴HA=HE，
设GH=x，
则HA=HE=HG+GE=2+x，
∵EH∥AC，
∴△DHG∽△DAC，
∴$\frac{DH}{DA}$=$\frac{HG}{AC}$，即$\frac{2\sqrt{5}-（2+x）}{2\sqrt{5}}$=$\frac{x}{2}$，
解得：x=3-$\sqrt{5}$，
即HG=3-$\sqrt{5}$，
故答案为：3-$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查勾股定理、平行线的性质和判定、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质等知识点，根据相似三角形的性质得出对应边成比例且表示出各边长度是关键．