【题目】已知:如图,△ABC和△BDE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠BDE=90°,点F是AE的中点,连接DF,CF.
(1)如图1,点D,E分别在AB,BC边上,填空:CF与DF的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)如图2,将图1中的△BDE绕B顺时针旋转45°得到图2,请判断(1)中CF与DF的数量关系和位置关系是否仍然成立,如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由;
(3)如图3,将图1中的△BDE绕B顺时针旋转90°得到图3,如果BD=2,AC=3,请直接写出CF的长.
【答案】(1)CF=DF,CF⊥DF;(2)成立,证明见解析;(3).
【解析】
(1)如图1中,结论:CF=DF,CF⊥DF.利用直角三角形的斜边中线的性质即可解决问题.
(2)成立.如图2中,延长DF交AC于H.证明△AFH≌△EFD(ASA),即可解决问题.
(3)如图3中,延长DF交AB于H,连接CH,CD.证明△AFH≌△EFD(ASA),推出DF=FH,AH=DE=DB,再证明△CAH≌△CBD(SAS),即可解决问题.
解:(1)结论:CF=DF,CF⊥DF.
理由:如图1中,
∵∠ACE=ADE=90°,AF=FE,
∴CF=AF=FE=AE,DF=AF=FE=AE,
∴CF=DF,
∴∠FAC=∠FCA,∠FAD=∠FDA,
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠CAB=45°,
∵∠CFE=∠FAC+∠FCA=2∠FAC,∠EFD=∠FAD+∠FDA=2∠FAD,
∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=2(∠FAC+∠FAD)=2∠CAD=90°,
∴CF⊥DF.
故答案为:CF=DF,CF⊥DF.
(2)成立.
理由:如图2中,延长DF交AC于H.
∵∠ACD=∠BDE=∠CDE=90°,
∴AC∥DE,
∴∠FED=∠FAH,
∵∠AFH=∠EFD,FA=FE,
∴△AFH≌△EFD(ASA),
∴DF=FH,
∵∠HCD=90°,
∴CF=FH=FD,CF⊥DF.
(3)如图3中,延长DF交AB于H,连接CH,CD.
∵∠ABD=∠CDE=90°,
∴DE∥AB,
∴∠FED=∠FAH,
∵∠AFH=∠EFD,FA=FE,
∴△AFH≌△EFD(ASA),
∴DF=FH,AH=DE=DB,
∵∠CAH=∠CBA=∠CBD=45°,CA=CB,
∴△CAH≌△CBD(SAS),
∴CH=CD,∠ACH=∠BCD,
∴∠HCD=∠ACB=90°,∵FH=FD,
∴CF⊥DF,CF=FH=DF.
∵AC=CB=3,
∴AB=AC=6,
∵AH=BD=2,
∴BH=6﹣2=4,
在Rt△BDH中,DH==2,
∴CF=DF=FH=.
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【题目】某市组织全民健身活动,有100名男选手参加由跑、跳、投等10个田径项目组成的“十项全能”比赛.其中25名选手的一百米跑成绩排名,跳远成绩排名与10项总成绩的排名情况如图所示,
甲、乙、丙表示三名男选手,下面有3个推断:
①甲的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠前;②乙的一百米跑成绩排名比10项总成绩排名靠后;③丙的一百米跑成绩排名比跳远成绩排名靠前.
其中合理的是( )
A.③B.①C.①③D.①②
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【题目】为评估九年级学生在“新冠肺炎”疫情期间“空中课堂”的学习效果,某中学抽取了部分参加调研测试的学生成绩作为样本,并把样本分为优、良、中、差四类,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请根据图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共抽取了多少名学生;
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)该校九年级共有320人参加了这次调研测试,请估算该校九年级共有多少名学生的成绩达到了优秀?
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【题目】某校为了解全校1600名学生每周课外体育活动时间的情况,随机调查了其中的部分学生,对这些学生每周课外体育活动时间(单位:小时)进行了统计,根据所得数据绘制了一副统计图,根据以上信息及统计图解答下列问题:
(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为______.
(2)求这些学生每周课外体育活动时间的平均数.
(3)估计全校学生每周课外体育活动时间不多于4小时的人数.
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【题目】由于雾霾天气趋于严重,我市某电器商城根据民众健康需求,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.
(1)完成下列表格,并直接写出月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式及售价x的取值范围;
售价(元/台) | 月销售量(台) |
400 | 200 |
250 | |
x |
(2)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?
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【题目】如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,的三个顶点的坐标分别为,,.
(1)将向上平移1个单位长度,再向右平移5个单位长度后得到的;直接写出的坐标;
(2)将绕原点顺时针方向旋转得到直接写出的坐标;
(3)在轴上存在一点,满足点到与点距离之和最小,请直接写出点的坐标(学生可以在练习本上画图,答题卡上直接写出答案即可)
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