Question

【题目】若三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“和谐三角形”，如图，已知抛物线y=ax2经过A（﹣1，1），P是y轴正半轴上的动点，射线AP与抛物线交于另一点B，当△AOP是“和谐三角形”时，点B的坐标为 ．

Answer 1

【答案】（2,4）和（1,1）
【解析】解：把A（﹣1，1）代入y=ax2得a=1，

∴抛物线解析式为y=x2，

∵A（﹣1，1），

∴∠AOP=45°，OA= ，

∵△AOP是“和谐三角形，

∴当点A到OP的距离等于OP时，即OP=1，此时AP⊥y轴，点A与点B关于y轴对称，则B（1，1）；

当点P到OA的距离等于OA时，即点P到OA的距离等于 ，则OP=2，

此时直线AP的解析式为y=x+2，解方程x2=x+2得x1=﹣1，x2=2，则B（2，4）；

同样当点O到OP的距离等于AP时，得到OP=1或OP=2．

综上所述，点B的坐标为（2，4）和（1，1）．

所以答案是（2，4）和（1，1）

【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法，以及对勾股定理的概念的理解，了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．