【题目】若三角形的一边和该边上的高相等的三角形称为“和谐三角形”,如图,已知抛物线y=ax2经过A(﹣1,1),P是y轴正半轴上的动点,射线AP与抛物线交于另一点B,当△AOP是“和谐三角形”时,点B的坐标为 .
【答案】(2,4)和(1,1)
【解析】解:把A(﹣1,1)代入y=ax2得a=1,
∴抛物线解析式为y=x2,
∵A(﹣1,1),
∴∠AOP=45°,OA= ,
∵△AOP是“和谐三角形,
∴当点A到OP的距离等于OP时,即OP=1,此时AP⊥y轴,点A与点B关于y轴对称,则B(1,1);
当点P到OA的距离等于OA时,即点P到OA的距离等于 ,则OP=2,
此时直线AP的解析式为y=x+2,解方程x2=x+2得x1=﹣1,x2=2,则B(2,4);
同样当点O到OP的距离等于AP时,得到OP=1或OP=2.
综上所述,点B的坐标为(2,4)和(1,1).
所以答案是(2,4)和(1,1)
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对勾股定理的概念的理解,了解直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2.
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【题目】如图,已知点O (0,0),A (-5,0),B (2,1),抛物线 (h为常数)与y轴的交点为C。
(1)抛物线经过点B,求它的解析式,并写出此时抛物线的对称轴及顶点坐标;
(2)设点C的纵坐标为 ,求 的最大值,此时抛物线上有两点 , ,其中 ,比较 与 的大小;
(3)当线段OA被只分为两部分,且这两部分的比是1:4时,求h的值。
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【题目】如图,要得到AB∥CD,只需要添加一个条件,这个条件不可以是( )
A. ∠1=∠3 B. ∠B+∠BCD=180°
C. ∠2=∠4 D. ∠D+∠BAD=180°
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【题目】阅读材料并完成任务.
莱昂哈德·欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一,瑞士著名的数学家、物理学家,他不但为数学界作出贡献,更把整个数学推至物理的领域;同时,也是数学史上研究成果最多的数学家,平均每年写出八百多页的论文,还写了大量的力学、分析学、几何学等的课本,《无穷小分析引论》《微分学原理》《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作.因此,被称为历史上最伟大的两位数学家之一(另一位是卡尔·弗里德里克·高斯).在数学成就上,欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示(可用其他字母代替,但不同的字母表示不同的多项式),例如,当时,多项式的值用来表示,即;当时,多项式的值用来表示,记为.
任务:
已知;.
请你根据材料中代入求值的方法解决下列问题:
(1)求的值;
(2)求的值.
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【题目】阅读理解:如图1,如果四边形ABCD满足AB=AD,CB=CD,∠B=∠D=90°,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”.将一张如图1所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图2所示形状,再展开得到图3,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B′为点B的对应点,点D′为点D的对应点,连接EB′,FD′相交于点O.
简单应用:
(1)在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中,一定为“完美筝形”的是 ;
(2)当图3中的∠BCD=120°时,∠AEB′= ;
拓展提升:
(3)当图2中的四边形AECF为菱形时,对应图3中的四边形CD′OB′是否是“完美筝形”?请说明理由.
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【题目】学校准备购进一批节能灯,已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元;3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元.
(1)求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元;
(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共50只,并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍,问A型节能灯最多可以买多少只?
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且∠B=60°,过C作⊙O的切线l,与直径AD的延长线交于点E,AF⊥l,垂足为F.
(1)求证:AC平分∠FAD;
(2)已知AF=3 ,求阴影部分面积.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,直线AB分别交x轴、y轴于点点且a、b满足.
______;______.
点P在直线AB的右侧,且,
若点P在x轴上,则点P的坐标为______;
若为直角三角形,求点P的坐标;
如图2,在的条件下,且点P在第四象限,AP与y轴交于点M,BP与x轴交于点N,连接求证:提示:过点P作交x轴于
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【题目】已知关于x,y的方程组
(1)请直接写出方程的所有正整数解
(2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值
(3)无论实数m取何值,方程x-2y+mx+5=0总有一个固定的解,请直接写出这个解?
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