Question

13．如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是$\widehat{CF}$的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OC，由DC切⊙O于点C，得到∠OCD=90°，由于BD=OB，得到OB=$\frac{1}{2}$OD，根据直角三角形的性质得出∠D=30°，∠COD=60°，根据垂径定理即可得到结论．

解答 解：连接OC，
∵DC切⊙O于点C，
∴∠OCD=90°，
∵BD=OB，
∴OB=$\frac{1}{2}$OD，
∵OC=OB，
∴OC=$\frac{1}{2}$OD，
∴∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∵AB为⊙O的直径，点B是$\widehat{CF}$的中点，
∴CF⊥OB，CE=EF，
∴CE=OC•sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$

点评 本题考查了切线的性质垂径定理，直角三角形的性质，锐角三角函数，连接OC构造直角三角形是解题的关键．