Question

已知：如图，在平面直角坐标系中，以点A（4，0）为圆心，AO为半径的圆交x轴于点B．设M为x轴上方的圆长交y轴于点D．
（1）当点P在弧OM上运动时，设PC=x，

OC

OD

=y，求y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当点P运动到某一位置时，恰使OB=3OD，求此时AC所在直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）延长PA交⊙A于E，连接OE，根据圆的相关性质，构造相似比，可求一次函数关系式；
（2）已知A点坐标，再运用勾股定理求OC的长，从而可求C点坐标，利用“两点法”求一次函数解析式．

解答：解：（1）延长PA交⊙A于E，连接OE，
∵AO=AE，
∴∠BOE=∠E．
又∵∠PBO=∠E，
∴∠BOE=∠PBO，
∴DB∥OE，
∴

OC

OD

=

CE

PE

又∵

OC

OD

=y，PC=x，PE=2OA=8，CE=CP+PE=x+8
∴y=

x+8

8

，即y=

1

8

x+1（2分）
当点P运动到点M时，连接AM并延长交y轴于点F，设∠OAM=n°，
∴n=60，即∠OAM=60°．
∵OC⊥OB，∴AF=2OA=8，∴MF=4，∴x≤4，
即0＜x≤4．

（2）当P运动到恰使OB=3OD时，即OD=

1

3

OB=

8

3

∵

OC

OD

=y
∴OC=OD•y=

x+8

3

在Rt△AOC中，OA²+OC²=AC²，
∵(

x+8

3

)2+42=(x+4)2（1分）
整理的x²+7x-8=0
∴x₁=1，x₂=-8（舍去）
∴OC=3
∴C（0，3）（2分）
设过A、C两点的直线解析式为y=kx+b，
∴

b=3 0=4k+b

∴

k=- 3 4 b=3

∴直线AC的解析式为y=-

3

4

x+3（2分）

点评：本题考查了相似三角形的性质，待定系数法求一次函数解析式的方法．